Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Имеется двузначный квадрат целого числа. Если вставить одну цифру между существующими двумя, то получится трехзначный квадрат целого числа. Какие трехзначные квадраты чисел мы получаем?

Проанализируем все возможности. Прежде всего, составим исчерпывающий список двузначных квадратов целых чисел, их шесть:

16, 25, 36, 49, 64, 81.

Теперь составим исчерпывающий список трехзначных квадратов целых чисел:

100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.

Выберем из второго списка те числа, которые можно составить, вставив какую-либо цифру между первой и второй цифрами двузначных квадратов целых чисел. Такому условию удовлетворяют только 196(вставлена 9 между цифрами числа 16), 225(вставлена 2 между цифрами числа 25) и 841(вставлена 4 между цифрами числа 81). Два исчерпывающих списка сделали очевидными все возможности. Обратите внимание на то, что исчерпывающий список не только содержит ответ задачи, но ограничивает количество исследуемых возможностей.

Вот еще один пример использования этой полезной стратегии.

На скамейке в парке сидят два человека. Один из них — женщина. Какова вероятность того, что и второй тоже окажется женщиной?

Составим список всех возможностей (М = мужчина, Ж = женщина):

М — М М — Ж Ж — М Ж — Ж.

В список пошли четыре возможности, однако в нашей задаче первую, М — М, не нужно учитывать, поскольку известно, что как минимум один человек — женщина. У нас остаются три варианта, и лишь в одном из них могут быть две женщины. Таким образом, ответом на поставленный вопрос будет вероятность, равная.

Чтобы еще лучше увидеть ценность такого подхода к решению задач, рассмотрим еще один пример:

В двух залах местного кинотеатра показывают по утрам разные мультфильмы. Утренние сеансы в обоих залах должны заканчиваться к 13:00, когда начинается демонстрация художественных фильмов. В зале A первый сеанс мультфильмов начинается в 9:00, второй в 9:28, а потом через каждые 28 минут. В зале B первый сеанс тоже начинается в 9:00, но потом сеансы повторяются через 35 минут. Джоанн хочет попасть на просмотр мультфильмов в обоих залах. Во сколько два последующих сеанса начинаются одновременно?

Составим исчерпывающий список времени начала сеансов в обоих залах.

Любой последующий сеанс должен был бы начаться уже после 13:00. Мы перечислили все возможности! Где-то в этом списке всех должен находиться ответ. Список показывает лишь одно время, когда начало сеансов в обоих залах совпадает — 11:20.

Такая стратегия очень эффективна, но вы должны убедиться в том, что перечислили все без исключения возможности! Только тщательная организация данных может дать вам полную уверенность. Как и в случае с другими стратегиями, необходимо обдуманно подходить к выбору той, которая подходит в данном случае. Стратегия учета всех возможностей может сделать решение более очевидным.

Учитель математики замечает, что его нынешний возраст представляет собой простое число. Он обнаруживает, что в следующий раз его возраст станет простым числом через столько же лет, сколько прошло с той поры, когда возраст был простым числом в прошлый раз. Сколько лет учителю математики?

У этой задачи не так много альтернативных способов решения. Обычно начинают перебирать числа в надежде «наткнуться на подходящее».

Здесь наверняка нам пригодится стратегия учета всех возможностей. Рассмотрим следующий список:

В списке простых чисел от 1 до 100 (хотя в ситуации учителя математики можно было бы ограничиться числами в диапазоне от 20 до 80) только в двух случаях три последовательных простых числа имеют одинаковую разность. Первый случай — 3, 5 и 7 — нам не подходит, поскольку пятилетних учителей математики не бывает. Второй случай — 47, 53 и 59 — укладывается в подходящий возрастной диапазон. Таким образом, учителю математики должно быть 53 года.

Найдите количество сочетаний, при которых 20 монет достоинством 5 центов, 10 центов и 25 центов могут составить в сумме $3,10.

Большинство людей сразу начинают составлять алгебраические уравнения, отражающие информацию из условий задачи. В результате они получают: n + d + q = 20, где n, d и q — количество 5-, 10- и 25-центовых монет соответственно. Это можно записать, как n = 20 — q — d . Кроме того, 25 q + 10 d + 5 n = 310, что при объединении с предыдущими двумя уравнениями дает: 25 q + 10 d + 5 (20 — q — d ) = 310. Отсюда 4 q + d = 42, или После этого остается лишь подставлять разные значения, чтобы выявить наилучший результат.