Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

В классе г-на Страусса 25 столов, расставленных в виде квадрата в пять рядов по пять столов в каждом. Г-н Страусс хочет, чтобы все поменялись местами по такому правилу: каждый переходит за стол, находящийся слева или справа от него, или за стол, находящийся перед ним или позади него. Можно ли осуществить это?

Самый распространенный подход к решению этой задачи — взять 25 листочков бумаги, которые будут обозначать столы, и подвигать их в соответствии с правилом г-на Страусса. Это неудобно, в процессе трудно уследить за всеми перемещениями и получить правильный ответ.

Вместо того, чтобы двигать листочки, давайте сделаем схему, или визуально представим расположение столов. Изобразим класс с 25 столами в виде шахматной доски, как показано на рис. 8.4.

Чтобы ученики соблюдали правило г-на Страусса, им нужно переходить с закрашенного стола на незакрашенный или наоборот. Однако у нас 13 закрашенных столов и только 12 незакрашенных. Таким образом, пересаживание по правилу г-на Страусса невозможно.

Стоимость разрезания и сваривания звена цепи составляет $1,00. У женщины есть семь звеньев, и она хочет сделать из них цепь. Во сколько долларов как минимум это обойдется?

Наиболее очевидный подход — разрезать шесть звеньев, соединить их и сварить. Это будет стоить $6,00. Однако наверняка должен быть способ уменьшить затраты.

Воспользуемся стратегией визуального представления. Разомкнем звено 2 и соединим звенья 1, 2 и 3, как показано на рис. 8.5.

Разомкнем звено 5 и соединим звенья 4, 5 и 6, как показано на рис. 8.6.

Наконец, разомкнем звено 7 и соединим цепочки 1–2–3 и 4–5–6, как показано на рис. 8.7.

Поскольку нам пришлось разрезать только три звена, создание цепи обойдется в $3,00.

Если в среднем полторы несушки могут снести полтора яйца за полтора дня, то сколько яиц снесут шесть несушек за восемь дней?

Это старая задача, которая выдержала испытание временем. Традиционно ее решают следующим образом. Поскольку несушки работают дня, можно сказать, что работа по откладыванию полутора яиц занимает или «несушко-дня». Аналогичным образом вторая работа занимает 6 × 8, или 48 «несушко-дней». Таким образом, можно составить пропорцию.

Обозначим за x количество яиц, снесенных 6 несушками за 8 дней. Тогда,

Перемножив средние и крайние члены пропорции, мы получим:

В качестве альтернативного подхода можно использовать следующее визуальное представление ситуации (в данном случае табличное):

Таким образом, 6 несушек должны снести 32 яйца за 8 дней.

Джек и Сэм заняты неполный рабочий день в местной пиццерии. Пиццерия открыта 7 дней в неделю. Джек работает день через два, а Сэм — день через три. Они работали вместе во вторник 1 марта. В какие еще дни марта Джек и Сэм будут работать вместе?

Обычно берут два листа бумаги и выписывают на них раздельно все даты, в которые Джек и Сэм выходили на работу. Затем даты сравнивают и определяют совпадения. Это совершенно законный метод решения, который дает правильный ответ.