Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Данные можно организовать по-другому и также получить довольно изящное решение. Мы уже определили, что сложить нужно 125 целых чисел, каждое из которых состоит из трех цифр, а значит всего нам необходимо принять во внимание 375 цифр. Понятно, что каждое из пяти нечетных цифр — 1, 3, 5, 7 и 9 — встречается 75 раз, т. е. 25 раз в каждом разряде (в разряде сотен, десятков и единиц). Это можно представить в виде формулы следующим образом:

25 [100 (1 + 3 + 5 + 7 + 9) + 10 (1 + 3 + 5 + 7 + 9) + 1 (1 + 3 + 5 + 7 + 9)] = 25 × 25 × (100 + 10 + 1) = 69 375.

В каждом из приведенных примеров организации данных решение задачи становится значительно более изящным, чем в случае использования лобового метода.

Допустим, у нас есть 11 линий, лежащих в одной плоскости, при этом три линии проходят через точку P , а три линии имеют общую точку Q . Никакие другие три линии, кроме этих, не пересекаются. Чему равно минимальное количество точек пересечения этих 11 линий при таких условиях?

Чаще всего эту задачу пытаются решить методом проб и ошибок, но довольно большое количество линий (11) делает такой подход проблематичным. Таким образом, должен быть какой-то другой, более эффективный способ решения подобной задачи.

Чтобы решить такую задачу, нужно организовать линии логичным образом. Начнем с построения трех линий, пересекающихся в точке P , как показано на рис. 7.6.

Повторим эту процедуру с точкой Q , построив линии l 3||l 4 и l 2||l 5 , как показано на рис. 7.7.

Затем проведем шесть оставшихся линий параллельно линии l 2 . Это показано на рис. 7.8. Каждая из этих линий добавляет три новые точки пересечения.

Таким образом, в результате организации исходных данных логичным образом мы получаем следующее количество точек пересечения: 6 × 3 + 4 = 22.

Если напечатать все числа от 1 до 1 000 000, сколько раз в них встретится цифра 8?

Обычно в ответ на такой вопрос, который кажется ошеломляющим, начинают составлять список чисел без какого-либо намека на их организацию. При таком подходе решение зависит от того, удастся ли увидеть какую-нибудь закономерность в числовом ряду.

Лучшая стратегия здесь заключается, пожалуй, в организации данных таким образом, чтобы можно было выявить любую закономерность в списке, если она существует.

В представленных выше шести разрядах миллиона цифры 0, 1, 2, 3, 4, …, 8 и 9 используются равное количество раз. Это понятно потому, что каждую «комбинацию» можно составить из каждой из 10 цифр. Таким образом, цифра 8 должна появиться в случаев, или 600 000 раз.

У продавца двое часов, которые бьют полночь одновременно. Однако одни часы спешат на 1 минуту в час, а другие отстают на 1 минуту в час. Если такая разница сохранится и дальше, то через какое время их показания совпадут?

Первая мысль — составить уравнение. Если обозначить за x время, через которое показания часов совпадут, то мы получим 12 + x = 12 — x . Решение этого уравнения дает 2 x = 0, и x = 0. От такого решения толку мало.

В сутках 24 часа, за это время часы A уйдут вперед на 24 минуты, а часы B отстанут на 24 минуты. Через пять дней часы A уйдут вперед на 5 × 24 = 120 минут, или на 2 часа. В свою очередь часы B будут отставать на 120 минут, или 2 часа каждые пять дней. Воспользуемся нашей стратегией и представим данные в табличной форме.

Из таблицы видно, что на табло обоих часов будет 6:00 в конце 15-го дня. Конечно, одни из них будут показывать 6:00 a.m., а другие — 6:00 p.m. Тем не менее показания совпадут, а именно это и требовалось найти в задаче.

Сколько существует положительных трехзначных нечетных чисел, произведение цифр которых дает число 252?