Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Возьмем для примера математическую задачу, в которой изначально мало кто ожидает использования визуального представления.

У г-на Адамса есть два теста в запасе для выпускного экзамена по алгебре, которые он хочет использовать в двух классах. В каждом тесте 26 разных вопросов. Он берет первые четыре вопроса из теста 1 и добавляет их в конец теста 2. Затем он берет четыре первых вопроса из теста 2 и добавляет их в конец теста 1. В каждом тесте теперь 30 вопросов. Сколько одинаковых вопросов в обоих тестах?

Ситуацию до и после перестановок можно представить схематично, или визуализировать ее:

Теперь видно, что тесты содержат восемь одинаковых вопросов, а именно 1, 2, 3, 4 и A, B, C, D. Хотя в этом случае не обязательно использовать визуальное представление, и задачу можно решить другими методами, создание схемы позволяет увидеть , что происходит. Такой подход облегчает поиск решения. Имейте в виду, когда мы говорим о визуальном представлении, не обязательно подразумевается «вычерчивание» чего-либо.

Вот еще одна задача, где визуальное представление помогает увидеть происходящее.

Длина стороны равностороннего треугольника равна 40 см. Средние точки сторон соединяются так, что образуется второй равносторонний треугольник. Средние точки сторон этого треугольника соединяются так, что образуется третий треугольник. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим пять треугольников. Чему равен периметр пятого треугольника?

Излишне говорить, что в случае решения геометрической задачи — даже такой, которую легко изложить на словах, — построение чертежа очень полезно, а то и просто необходимо. Нам нужно видеть, о чем идет речь (рис. 8.1).

Чертеж должен показывать, что отрезок, соединяющий средние точки двух сторон треугольника, равен половине длины третьей стороны и параллелен ей. Таким образом, каждая сторона любого нашего треугольника равна длины соответствующей стороны предыдущего треугольника. Периметр каждого последующего треугольника равен половине периметра предыдущего треугольника. Для полной ясности составим таблицу, отражающую процесс.

Периметр пятого треугольника равен 7,5 см. Сделанный нами чертеж помог визуализировать ситуацию и решить задачу. Хотя решить ее можно и без рисунка, глядя на чертеж, легче найти ответ.

Чтобы подчеркнуть ценность использования схематичного представления, когда это напрямую не требуется в условиях, рассмотрим такую задачу.

В 5:00 часы бьют пять раз в течение 5 секунд. Сколько времени потребуется этим часам, чтобы пробить 10 раз в 10:00? (Предполагается, что на сами удары часов время не требуется.)

Ответ 10 секунд неверен ! Характер этой задачи не предполагает создание каких-либо рисунков. Тем не менее представим ситуацию схематично, чтобы увидеть суть происходящего. На схеме каждая точка представляет удар часов. На рис. 8.2 мы видим, что общее время боя составляет 5 секунд, а между ударами четыре интервала.

Из этого следует, что интервал должен составлять секунды. Теперь рассмотрим второй случай на рис. 8.3.

Здесь мы видим, что между 10 ударами девять интервалов. Поскольку интервал равен секунды, продолжительность боя часов в 10:00 составит или секунды.

Схема значительно упростила задачу, которая иначе могла сбить человека с толку.

Стратегия составления схем или диаграмм, когда они не требуются по условиям задачи, нередко помогает найти решение, а в некоторых случаях прямо дает ответ, особенно в несложных задачах, где визуальное представление делает решение очевидным.