Rudolf Taschner - Die Zahl, die aus der Kälte kam - Wenn Mathematik zum Abenteuer wird

Dem großen griechischen Philosophen Aristoteles wird nachgesagt, dass er die folgende Begründung dafür gefunden hat, dass es keine Zahlen x und y gibt, für die y 2 = 2 ⋅ x 2 zutrifft:

Nehmen wir an, es gäbe sie doch. Aristoteles betrachtete zuerst den Fall, dass die Zahl y ungerade wäre. Dann bliebe auch y 2, also y mit sich selbst multipliziert, ungerade. Dann kann aber y 2 = 2 ⋅ x 2 nicht zutreffen, denn 2 ⋅ x 2 ist sicher durch 2 teilbar, also gerade.

Folglich müsste y eine gerade Zahl sein. Und y 2, also y mit sich selbst multipliziert, wäre sogar durch 4 teilbar.

Dann aber, so schloss Aristoteles weiter, könnte x unmöglich eine ungerade Zahl sein. Denn wäre x ungerade, bliebe auch x 2, also x mit sich selbst multipliziert, ungerade. Die Zahl 2 ⋅ x 2 wäre zwar durch 2, nicht aber durch 4 teilbar. Dies müsste sie sein, wenn bei einer geraden Zahl y die Formel y 2 = 2 ⋅ x 2 stimmte.

Aristoteles folgerte aus diesen Überlegungen: Gäbe es Zahlen x und y , für die y 2 = 2 ⋅ x 2 zutrifft, dürfte keine von ihnen ungerade sein. Beide Zahlen x und y müssten gerade Zahlen sein.

Die Seite des Quadrats, von dem wir ausgegangen waren, müsste folglich eine gerade Zahl von Längeneinheiten und auch ihre Diagonale eine gerade Zahl von Längeneinheiten messen. Dann aber, so Aristoteles, könnten wir genauso gut vom Quadrat ausgehen, dessen Seite und Diagonale halb so lang wären. Doch auch bei ihm müssten Seite und Diagonale jeweils gerade Zahlen von Längeneinheiten lang sein. Wieder könnten wir das Quadrat im Maßstab 1 : 2 verkleinern. Aber auch bei diesem noch kleineren Quadrat müssten Seite und Diagonale jeweils gerade Zahlen von Längeneinheiten lang sein.

Und diese Längenhalbierungen ließen sich endlos fortsetzen. Bei jedem noch so kleinen Quadrat wären Seite und Diagonale jeweils gerade Zahlen von Längeneinheiten lang, und das Quadrat ließe sich weiter halbieren.

Was endgültig absurd ist, weil Seite und Diagonale des Quadrats ganzzahlige Vielfache der Längeneinheit sind und nicht beliebig klein werden dürfen.

Darum, so Aristoteles, gibt es überhaupt keine Zahlen x und y , für die y 2 = 2 ⋅ x 2 zutrifft. (Heute würde man vielleicht dagegen protestieren, weil bei x = 0 und bei y = 0 die Formel stimmt. Aber die alten Griechen rechneten, klug wie sie waren, Null nicht zu den Zahlen, sondern kannten nur die positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ….) Und darum ist das Verhältnis der Diagonalenlänge zur Seitenlänge eines Quadrats mit Sicherheit keine Bruchzahl.

Von Mathematik Faszinierte geben sich nie mit bislang erhaltenen Resultaten zufrieden. Immer fragen sie weiter, versuchen noch umfassendere Erkenntnisse zu gewinnen.

So auch hier. Wenn schon keine Zahlen x und y aufzufinden sind, für die y 2 = 2 ⋅ x 2 zutrifft, so gibt es vielleicht Zahlen x und y , die in die Formel y 2 = 2 ⋅ x 2 + 1 eingesetzt werden können. Mit dem kleinen Zusatz „+ 1“ ändert sich scheinbar nur unerheblich wenig, aber die von Aristoteles geführte Argumentation bricht völlig in sich zusammen. Und wirklich zeigt sich, das zuvor genannte Beispiel x = 12 und y = 17 belegt es, dass es bei dieser nur winzigen Änderung tatsächlich Lösungen der neuen Gleichung gibt. Wie man beweisen kann: sogar unendlich viele.

Es war Pierre de Fermat, jener französische Privatgelehrte, den wir als Miterfinder des „Kalküls“ bereits kennenlernten, der dies in einer seiner Aufzeichnungen wie beiläufig anmerkte. Er behauptete auch, dass der Faktor 2 vor dem x 2 in der Formel y 2 = 2 ⋅ x 2 + 1 durch irgendeine andere Zahl ersetzt werden darf, solange diese nur keine Quadratzahl ist. So gibt es unendlich viele Zahlen x und y , für die y 2 = 3 ⋅ x 2 + 1 zutrifft, unendlich viele Zahlen x und y , für die y 2 = 5 ⋅ x 2 + 1 zutrifft, und so weiter. Zuweilen muss man sehr lange suchen, bis man sie findet. Zum Beispiel sind bei y 2 = 991 ⋅ x 2 + 1 die kleinsten Zahlen x und y , welche dieser Gleichung gehorchen, die Zahlengiganten

x = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

und

y = 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.

Woher Fermat seine Überzeugung nahm, wissen wir nicht. Erst ungefähr hundert Jahre später hat der überaus emsige Schweizer Mathematiker Leonhard Euler bewiesen, dass er damit recht hatte.

Doch Archimedes wusste bereits Jahrhunderte zuvor, woran Pierre de Fermat glaubte und was Leonhard Euler bewies. Denn der zweite Teil des Rätsels über die Rinder des Sonnengottes mündet darin, zwei Zahlen x und y zu finden, die der Gleichung

y 2 = 410 286 423 278 424 ⋅ x 2 + 1

gehorchen. Wie man sieht, handelt es sich um den gleichen Typ von Gleichung wie y 2 = 2 ⋅ x 2 + 1, y 2 = 3 ⋅ x 2 + 1, y 2 = 5 ⋅ x 2 + 1 oder y 2 = 991 ⋅ x 2 + 1. Nur hier eben mit einem riesigen Faktor vor dem x 2.

9 Für Kenner: Der Wert 70 rührt daher, weil 70 Hundertstel, also 0,7, ziemlich genau dem natürlichen Logarithmus von 2 entsprechen.

10 Aber das ist erst der Anfang dessen, was die Mathematik an großen Zahlen zu liefern imstande ist.

Ein Beispiel einer wirklich sagenhaft großen Zahl, gegen die sogar 3↑↑↑3 verblasst, finden wir aufgrund einer Erkenntnis, die dem britischen Mathematiker Reuben Louis Goodstein im Jahre 1944 gelang. Um sie nachvollziehen zu können, müssen wir allerdings ein wenig ausholen:

Zuerst erklären wir, was die Darstellung „zu einer Basis“ bedeutet. Eine „Basis“ ist dabei eine von 1 verschiedene Zahl. Betrachten wir zum Beispiel die kleinstmögliche Basis 2 und die Zahl 42. Wir dividieren die vorgelegte Zahl durch die Basis, in unserem Beispiel 42 : 2, erhalten 21 als Quotienten und 0 als Rest und schreiben folglich

42 = 21 × 2 + 0.

Jetzt dividieren wir den Quotienten durch die Basis, in unserem Beispiel 21 : 2, und bekommen 10 als Quotienten und 1 als Rest, also

21 = 10 × 2 + 1.

Das Spiel setzen wir mit dem nächsten Quotienten so lange fort, bis es beim Quotienten Null endet. Der Reihe nach bekommt man so aus den Divisionen die Resultate

42 = 21 × 2 + 0

21 = 10 × 2 + 1

10 = 5 × 2 + 0

5 = 2 × 2 + 1

2 = 1 × 2 + 0

1 = 0 × 2 + 1 .

Jetzt setzt man diese Resultate ineinander ein:

42 = 21 × 2 + 0

= (10 × 2 + 1) × 2 + 0 = 10 × 22 + 1 × 2 + 0

= (5 × 2 + 0) × 22 + 1 × 2 + 0 = 5 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0

= (2 × 2 + 1) × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0 = 2 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0

= (1 × 2 + 0) × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0 =

1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0.

Mit dem Ergebnis

42 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0

ist die Zahl 42 zur Basis 2 dargestellt. Wir nennen die vor den Potenzen von 2 auftretenden Faktoren 1, 0, 1, 0, 1 und auch die zum Schluss aufgeschriebene 0 (es ist der Faktor der Potenz 20, die mit 1 übereinstimmt, weil man jede Zahl zur nullten Potenz gleich 1 setzt) die „Ziffern“ der Zahl 42 zur Basis 2. Die oben angeschriebene Darstellung von 42 zur Basis 2 wird gerne mit der Bezeichnung (1 0 1 0 1 0)2 abgekürzt, ausführlich:

42 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 0 = (1 0 1 0 1 0)2 .

Man kann 42 natürlich auch zur Basis 5 darstellen. In diesem Fall lauten die Divisionen