Rudolf Taschner - Die Zahl, die aus der Kälte kam - Wenn Mathematik zum Abenteuer wird

Die genaue Größe der Sandzahl interessierte Archimedes aber gar nicht wirklich. Was er mit seiner Rechnung mitteilen wollte, war zweierlei:

Erstens: So wie die Griechen der Antike Zahlen schrieben – ihre Buchstaben waren zugleich Symbole der Zahlen –, war es ihnen verwehrt, riesige Zahlenungetüme zu bezeichnen. Archimedes hatte für den Zweck, eine Dezilliarde darstellen zu können, ein eigenes Zahlensystem geschaffen. Eine Myriade, vom griechischen mýrios, das „unzählig“ bedeutet, bezeichnet im archimedischen System zehntausend. Sodann potenzierte Archimedes die Myriaden und konnte damit, ohne Verwendung der Null, deren Wesen ihm eigenartigerweise verschlossen blieb, beliebig große Zahlen wenigstens in Worte fassen.

Zweitens: Eine Dezilliarde ist, so meinte Archimedes, die größte Zahl des Universums. Nirgendwo in der Welt wird man es je mit einer größeren Anzahl zu tun haben. Aber in der Mathematik, so war Archimedes überzeugt, kommen noch viel größere Zahlen vor. Er selbst erwähnt in seiner Schrift über die Sandzahl das Zahlenungetüm 1080 000 000 000 000 000, in heutiger Schreibweise eine 1 gefolgt von 80 Billiarden Nullen – und auch diese ist aus mathematischer Sicht noch klein . Denn aus der Perspektive der Mathematik ist jede Zahl klein . Nur endlich viele können vor ihr genannt werden, wenn man von eins bis zu dieser Zahl zählt, aber unendlich viele sind immer noch ungenannt und warten darauf, gezählt zu werden.

Es mag reizvoll sein, eine ähnliche Abschätzung wie die des Archimedes durchzuführen, wobei wir nicht mehr Sandkörner und das viel zu kleine Sonnensystem des Aristarch, sondern die kleinstmögliche und die größtmögliche Länge benutzen, welche die moderne Physik gegenwärtig kennt: Wenn man die Gravitationskonstante, die seit Newton und Einstein das Referenzmaß der Schwerkraft ist, die Lichtgeschwindigkeit, seit Maxwell und Einstein das Referenzmaß aller elektrodynamischen Prozesse, und das Wirkungsquantum, seit Planck und Bohr das Referenzmaß der Quantentheorie, geeignet kombiniert, erhält man die sogenannte Plancksche Länge, die 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 016 162 Meter groß ist. Man schreibt dafür kurz 1,6162 × 10 –35 Meter, weil die erste von Null verschiedene Ziffer 1 erst an der 35. Stelle nach dem Komma auftritt. Wir berechnen nun, wie viele „Würfel“ mit einer „Kantenlänge“ von 10–35 Meter in ein Universum passen, das 50 Milliarden Lichtjahre als Ereignishorizont besitzt, also in einen „Würfel“ mit der „Kantenlänge“ von 100 Milliarden Lichtjahren. Weil 100 Milliarden Lichtjahre geringfügig weniger lang als 100 Milliarden mal 10 Billionen Kilometer, also 1011 × 1013 × 103 Meter sind, das sind 1011 + 13 + 3 = 1027 Meter, ist das der Wahrnehmung zugängliche All in einem Volumen von 1027 × 3, also von 1081 Kubikmeter enthalten. Der „Planck-Würfel“ mit einer „Kantenlänge“ von 10–35 Meter hat 10–35 × 3, also 10–105 Kubikmeter Rauminhalt. In das Universum passen folglich nicht mehr als 1081 + 105, das sind 10186 „Planck-Würfel“, eine Untrigintillion: Auf die Ziffer 1 folgen sage und schreibe 186 Nullen. Das ist, wenn man so will, die moderne „Sandzahl“.

Bei der Zeit kann man eine ähnliche Spielerei – mehr ist es in Wirklichkeit natürlich nicht – durchführen. Es gibt nicht nur eine Plancklänge, es gibt auch eine Planckzeit, die kleinste noch physikalisch sinnvolle Zeiteinheit, welche rund 5 × 10–44 Sekunden beträgt. Soweit wir wissen, ist das Universum vor 13,8 Milliarden Jahren entstanden, in Sekunden umgerechnet ist diese Zeitspanne etwas kürzer als 5 × 1017 Sekunden. Somit passen in die bisherige Geschichte des Weltalls höchstens 1017 + 44, das sind 1061 plancksche „Augenblicke“, zehn Dezillionen. Das ist erstaunlicherweise „nur“ ein Hundertstel der archimedischen Sandzahl.

Sobald man mit Zahlenungetümen zu rechnen beginnt, wird man richtig unbescheiden …

Kehren wir noch einmal zu menschlichen Dimensionen zurück. Mit dem Alltag haben die astronomisch großen Zahlen zwar nichts zu tun, aber die Überlegungen, wie Archimedes und seine modernen Epigonen mit groben Schätzungen zu Zahlen gelangten, sind auch jenseits der Schnurren, in denen Dezillionen und Untrigintillionen vorkommen, von Interesse. Schon immer nämlich zeichnen sich kluge Köpfe dadurch aus, dass sie Größenordnungen gut zu überschlagen verstehen. Geradezu ein Magier des geschickten Schätzens war der aus Rom stammende und bis zu seinem frühen Tod 1954 in Chicago lehrende theoretische Physiker Enrico Fermi. Von ihm konnte man am eindrucksvollsten lernen, dass die Kunst bei der Anwendung von Mathematik nicht darin besteht, alles fehlerfrei zu berechnen, sondern vielmehr darin, die unvermeidlichen Fehler nicht zu groß werden zu lassen, sie jedenfalls sicher im Griff zu haben.

„Wie viele Klavierstimmer gibt es wohl in Chicago?“, soll Fermi einmal einen verdutzten Studenten gefragt haben. Der hatte natürlich keine Ahnung. Aber Fermi wusste, wie man zur Antwort gelangt: Wenn Chicago vier Millionen Einwohner hat, ein Durchschnittshaushalt aus vier Personen besteht und jeder fünfte Haushalt ein Klavier besitzt, dann gibt es zweihunderttausend Klaviere in der Stadt. Wenn jedes Klavier alle vier Jahre gestimmt wird, müssen jährlich fünfzigtausend Klaviere gestimmt werden. Wenn ein Stimmer vier Klaviere pro Tag schafft, sind das bei 250 Arbeitstagen 1000 Klaviere pro Jahr pro Stimmer. Folglich gibt es in Chicago rund 50 Klavierstimmer.

Der weltberühmte Wiener mathematische Physiker Walter Thirring beherrscht solche Rechnungen souverän. Als ihm einst als Schüler gesagt wurde, Alfred Wegeners Theorie, die Kontinente könnten wie Eisschollen auf der Erdoberfläche treiben, sei Unsinn, antwortete er, ihm käme das Bild eines Erdbebens in den Sinn, bei dem sich die Erde eine Handbreit auftut. Wenn sich irgendwo pro Jahr ein solches Beben ereignet, verschiebt sich die Erdkruste pro Jahr um zehn Zentimeter, in 100 Millionen Jahren daher um eine Milliarde Zentimeter, also um zehntausend Kilometer, da hat der Abstand zwischen Europa und Amerika bequem Platz. Damals ermahnten die Lehrer den jungen Thirring, solche Zahlenspielereien bleiben zu lassen. Heute ist die Kontinentaldrift das Dogma einer ganzen Wissenschaft.

Das Faszinierende dieser Rechnungen ist, dass sie zwar alles andere als genau sind, aber gut die Größenordnung der gesuchten Antwort liefern – und all das ohne großen Informationsbedarf, allein gewonnen aus vernünftigen Argumenten. Das Schönste daran: Man kann die Rechnungen leger ohne technische Hilfsmittel meistern. Wie schwer das Wasser in einem Schwimmbecken ist, wie viel Müll ein Haushalt im Jahr wegwirft, aus wie vielen Zellen der menschliche Körper besteht – all diese mehr oder weniger sinnvollen Fragen lassen sich mit Fermi-Rechnungen beantworten.

Oder wie sich die Zahl der Pensionsbezieher des Staates zu jener der Berufstätigen verhält. Auch ohne die Daten von einem statistischen Amt abzufragen, kann man die Größenordnung des erschreckend hohen Werts schätzen. Eine Fermi-Rechnung genügt. Sie ist so genau, dass der Zwang deutlich wird, in diesem heiklen Bereich politische Maßnahmen zu treffen.

Ob die deutsche Bundeskanzlerin als studierte Physikerin so wie Fermi berechnet hat, ob beim großen Energiebedarf ihres Landes andere CO2-neutrale Energiequellen den Ausfall der Kernenergie abfedern können, wurde von den deutschen Medien, die sonst eigentlich alles wissen, nicht verraten.

Fehlerfrei rechnen hat wenig mit Mathematik zu tun. Fehlerfrei rechnen kann auch ein Computer. Mathematische Genauigkeit bedeutet: abschätzen zu können und sich der dabei in Kauf genommenen Fehler bewusst zu sein. „Durch nichts zeigt sich“, behauptete Gauß, „mathematischer Unverstand deutlicher als durch ein Übermaß an Genauigkeit im Zahlenrechnen.“