Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Или, если написать это в форме

Напряжение = ПостояннаяXДеформация

g=mq. (38.13)

Коэффициент пропорциональности m называется модулем сдвига (или иногда коэффициентом жесткости). Вот как он выражается через Y и s:

Кстати, модуль сдвига дол­жен быть положительным, иначе мы бы могли полу­чить энергию от самопро­извольного сдвига кубика. Из уравнения (38.14) очевидно, что постоянная а должна быть больше -1. Теперь мы знаем, что о заключена между -1 и 1/ 2, но на практике, однако, она всегда больше нуля. В ка­честве последнего примера состояний подобного типа, когда напряженность постоянна по всему материалу, давайте рассмот­рим задачу о бруске, который растягивается и в то же время закреплен таким образом, что боковое сокращение невозможно. (Технически немного легче сжимать брусок и сдерживать бока его от «распирания», но в сущности — это та же самая за­дача.) Что при этом происходит? На брусок должны действо­вать боковые силы, которые препятствуют изменению его тол­щины,— силы, которых мы не знаем непосредственно, но ко­торые следует вычислить. Эта задача того же самого сорта, что мы решали, но только с немного другой алгеброй. Представьте себе силы, действующие на все три стороны, как это показано на фиг. 38.8.

Фиг. 38.8. Растяжение без сокращения бокового размера.

Мы вычислим изменение размеров и подберем та­кие поперечные силы, чтобы ширина и высота оставались по­стоянными. Следуя обычным рассуждениям, мы получаем для трех напряжений

Но поскольку по условию Dl уи Dl z равны нулю, то уравнения (38.16) и (38.17) дают два соотношения, связыва­ющие F y и F z с F x . Совместно решая их, найдем

а подставляя (38.18) в (38.15), получаем

Это соотношение вы часто можете встретить «перевернутым» и с преобразованным квадратичным полиномом по s, т. е.

Когда вы удерживаете бока, модуль Юнга умножается на не­которую сложную функцию s. Из уравнения (38.19) можно сразу же увидеть, что множитель перед Y всегда больше едини­цы. Растянуть брусок, когда его бока удерживаются, гораздо труднее. Это означает также, что брусок становятся жестче, когда его боковые стороны закреплены, нежели когда они свободны.

§ 3. Кручение стержня; волны сдвига

Обратимся теперь к более сложному примеру, когда различ­ные части материала напряжены по-разному. Рассмотрим скру­ченный стержень — скажем, приводной вал какой-то машины или подвеску из кварцевой нити, применяемую в точных при­борах. Из опытов с маятником кручения вы, по-видимому, знае­те, что момент сил, действующий на закручиваемый стержень, пропорционален углу, причем константа пропорциональности, очевидно, зависит от длины стержня, его радиуса и свойств ма­териала. Но каким образом — вот в чем вопрос? Теперь мы в состоянии ответить на него: просто нужно немного разобраться в геометрии.

На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, облада­ющий длиной L и радиусом а, один из концов которого закручен на угол j по отношению к другому.

Фиг. 38.9. Кручение цилиндрического стержня (а), кручение цилин­дрического слоя (б) и сдвиг любого маленького кусочка в слое (в).

Если мы хотим связать де­формацию с тем, что уже известно, то стержень можно предста­вить состоящим из множества цилиндрических оболочек и выяснить, что происходит в каждой из этих оболочек. Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом r(мень­шего, чем в) и толщиной Dr, как показано на фиг. 38.9, б. Если теперь посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом, то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый элемент ци­линдра сдвигается, а угол сдвига q равен