Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Последний общий закон, который нам нужен,— это принцип суперпозиции. Поскольку оба закона (38.4) и (38.5) линейны в отношении сил и перемещений, то принцип суперпозиция будет работать. Если при одном наборе сил вы получаете неко­торое дополнительное перемещение, то результирующее пере­мещение будет суммой перемещений, которые бы получились при независимом действии этих наборов сил.

Теперь мы имеем все необходимые общие принципы: прин­цип суперпозиции и уравнения (38.4) и (38.5), т. е. все, что нуж­но для описания упругости. Впрочем, с таким же правом можно было заявить: у нас есть законы Ньютона, и это все, что нужно для механики. Или, задавшись уравнениями Максвелла, мы имеем все необходимое для описания электричества. Оно, ко­нечно, так; из этих принципов вы действительно можете полу­чить почти все, ибо ваши теперешние математические возмож­ности позволяют вам продвинуться достаточно далеко. Но мы все же рассмотрим лишь некоторые специальные приложения.

§ 2. Однородная деформация

В качестве первого примера посмотрим, что происходит с пря­моугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой. При этом воз­никнет сила, действующая на каждую грань бруска и пропор­циональная его площади (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Брусок под действием равномерного гидростатического давления.

Поскольку гидростатиче­ское давление однородно, то напряжение (сила на единичную площадь) на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматри­вать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех независимых задачах, изображенных на фиг. 38.3.

Фиг. 38.3. Гидростатическое давление равно суперпозиции трех сжатий.

Задача 1 . Если мы приложим к концам бруска давление р, то деформация сжатия будет отрицательна и равна p/Y:

Задача 2 . Если мы надавим на горизонтальные грани бруска, то деформация по высоте будет равна - p/Y, а соответствующая деформация в бо­ковом направлении будет +s p/Y. Мы получаем

Задача 3 . Если мы прило­жим к сторонам бруска дав­ление р, то деформация дав­ления снова будет равна p/Y, но теперь нам нужно определить деформацию длины. Для этого боковую деформа­цию нужно умножить на -s. Боковая деформация равна

так что

Комбинируя результаты этих трех задач, т. е. записывая Dl как dl 1+Dl 2+Dl 3, получаем

Задача, разумеется, симметрична во всех трех направлениях, поэтому

Интересно также найти изменение объема при гидроста­тическом давлении. Поскольку V=lwh, то для малых пере­мещений можно записать

Воспользовавшись (38.6) и (38.7), мы имеем

Имеются любители назы­вать DV/V объемной де­формацией и писать

Объемное напряжение р (гидростатическое давление) пропор­ционально вызванной им объемной деформации — снова закон Гука. Коэффициент К называется объемным модулем и связан с другими постоянными выражением