Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

где E 2 — поправка из-за изменения магнитного поля. При любых w мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде E 0 e i w t (тем самым определяя Е 0 ), так что в центре поправки не будет: E 2=0 при r=0.

Чтобы найти Е 2 , можно использовать интегральную форму закона Фарадея

Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии Г 2, показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния r, потом вер­тикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от Е 1 вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е 2 , и интеграл равен просто — E z (r)h, где h — зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади S внутри Г 2(фиг. 23.4,6). Поток через вертикальную полосу шириной dr равен B(r)hdr, а суммарный поток

Полагая — d/dt от потока равным контурному интегралу от E 2, получаем

Фиг. 23.5. Электрическое по­ле между обкладками конден­сатора на высоких частотах. Краевыми аффектами пренебрегли.

Заметьте, что h выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.

Используя для В(r) формулу (23.5), получаем

Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель iw:

(23.7)

Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле Е = Е 1 +Е 2 тогда равно

(23.8)

Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однород­но; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.

Наши результаты можно использовать для того, чтобы под­считать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты оз. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что про­изойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчи­тали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его В 1, а (23.5) перепишем в виде

(23.9)

Вспомните, что это поле появилось от изменения Е 1. А правиль­ное магнитное поле будет создаваться изменением суммарного электрического поля Е 1+Е 2. Если магнитное поле представить в виде В=В 1+В 2 , то второе слагаемое — это просто добавочное поле, создаваемое полем Е г .Чтобы узнать В 2, надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчиты­вали В 1: контурный интеграл от B 2вдоль кривой Г 1равен ско­рости изменения потока Е 2через Г 1. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В 2, а Е — на E 2:

Поскольку Е 2 с радиусом меняется, то для получения его пото­ка надо интегрировать по круговой поверхности внутри Г 1. Беря в качестве элемента площади 2prdr, напишем этот интеграл в виде