Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Но находите ли вы график, приведенный на фиг. 20.5, вос­хитительным? В нем ведь содержится существенно больше раз­личных деталей, чем мы в состоянии постичь, когда видим ра­дугу: наши глаза не могут схватить доподлинную форму спектра. А вот глазам радуга все же кажется восхитительной. Хватает ли у вас воображения, чтобы в спектральных кривых увидеть всю ту красоту, которую мы видим, смотря на радугу? У меня — нет.

Ф и г. 20.5. Зависимость интен­сивности электромагнитных волн от длины волны под тремя углами (отсчитываемыми от направления, противоположного направлению на Солнце).

Доступно наблюдению лишь в опре­деленных метеорологических усло­виях.

Но представим себе, что у меня имеется график зависи­мости коэффициента отражения кристаллов хлористого натрия от длины волны в инфракрасном участке спектра и от угла. Я могу вообразить себе, как это представилось бы моим глазам, обладай они способностью видеть в инфракрасном свете. Должно быть, это был бы какой-то яркий, насыщенный «зеленый цвет», на который накладывались бы отражения от поверхностей «ме­таллически-красных» тонов. Это выглядело бы поистине вели­колепно, но я не знаю, способен ли я, взглянув на график коэф­фициента отражения NaCl, снятый на каком-то приборе, ска­зать, что он столь же прелестен.

Но, с другой стороны, хоть мы и не можем видеть красоту тех или иных частных измерений, мы можем утверждать, что постигаем своеобразную красоту уравнений, описывающих всеобщие физические законы. Например, в волновом уравне­нии (20.9) очень красива та правильность, с какой в нем распо­ложены х, у, z и t. И эта приятная симметрия появления х, у, z, t намекает на ту величественную красоту, которая таится в четырех равнозначных координатах, в возможности того, что у пространства есть четырехмерная симметрия, в возможности проанализировать ее и развить специальную теорию относи­тельности. Так что существует еще интеллектуальная красота, ассоциируемая с уравнениями.

§ 4. Сферические волны

Мы видели, что существуют решения волнового уравнения, отвечающие плоским волнам, и что любая электромагнитная волна может быть описана как суперпозиция многих плоских волн. В определенных случаях, однако, удобнее описывать волновое поле в другой математической форме. Я хотел бы сей­час разобрать теорию сферических волн — волн, которые соот­ветствуют сферическим поверхностям, расходящимся из неко­торого центра. Когда вы бросаете камень в пруд, то по водной глади побежит рябь в виде круговых волн — это двумерные волны. Сферические волны похожи на них, только распростра­няются они во всех трех измерениях.

Прежде чем начать описание сферических волн, немного зай­мемся математикой. Пусть имеется функция, зависящая только от радиального расстояния r точки от начала координат, иными словами, сферически симметричная функция. Обозначим ее ш(r), где под r подразумевается

т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функ­ции ш (r) удовлетворяют волновому уравнению, нам понадо­бится выражение для лапласиана ш. Значит, нам нужно найти сумму вторых производных ш по х, по у и по z. Через ш'(r) мы обозначим первую производную i|) по r, а через ш"(r) — вторую. Сначала найдем производные по х. Первая производная равна

Вторая производная по х равна

Частные производные r по x можно получить из

так что вторая производная ш no x принимает вид

(20.28)

Точно так же и