Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение

Вернемся, однако, к центру масс. Часто его называют центром тяжести, так как во многих случаях для силы тяго­тения можно провести точно такие же рассуждения, как и для масс. Если размеры достаточно малы, то силу тяжести можно считать не только пропорциональной массе, но и направленной всюду параллельно некоторой фиксированной линии.

Возьмем тело, в котором сила тяжести действует на каждую из составляющих его частей, a m i — масса одной из этих частей. Действующая на нее сила тяжести будет тогда равна произведе­нию m i на g. Возникает вопрос: в какой точке нужно приложить одну-единственную силу, чтобы сбалансировать притяже­ние всего тела так, чтобы оно (если это твердое тело) не вра­щалось? Ответ: сила должна проходить через центр масс. До­казывается это следующим образом. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов всех сил должна быть равна нулю, ибо если нет момента сил, то нет и изменения момента количества дви­жения, а поэтому нет и вращения. Таким образом, мы должны подсчитать сумму всех моментов, действующих на все частицы, и посмотреть, какой получится полный момент относительно любой данной оси: он должен быть равен нулю, если ось про­ходит через центр масс. Направив ось х горизонтально, а ось у вертикально, мы найдем, что моменты сил равны силам, на­правленным вниз, умноженным на плечо х (т. е. сила на плечо относительно той оси, для которой измеряется момент силы). Полный же момент равен сумме

t =Sm i gx i =gSm i x i . (19.3)

Чтобы полный момент отсутствовал, сумма Sm i x i должна быть равна нулю. Но эта сумма равна MX — полной массе, умно­женной на расстояние от оси х до центра масс. Итак, это рас­стояние должно быть равно нулю.

Разумеется, мы провели проверку только для x-направле­ния, однако если мы действительно взяли центр масс, то тело должно быть уравновешено в любом положении, поэтому, по­вернув его на 90°, мы вместо оси х получим ось у. Другими сло­вами, если держать тело за центр масс, то параллельное грави­тационное поле не дает никакого момента сил. Если же объект настолько велик, что становится существенной непараллель­ность сил притяжения, то точку, в которой должна быть при­ложена уравновешивающая сила, описать не просто: она несколько отклоняется от центра масс. Вот почему нужно пом­нить, что центр масс и центр тяжести — разные вещи. Тот факт, что тело, поддерживаемое точно за центр масс, уравновешено в любом положении, имеет еще одно интересное следствие. Если вместо гравитационных сил взять инерционные псевдосилы, возникающие вследствие ускорения, то, чтобы найти точку, уцепившись за которую мы уравновесим все моменты этих сил, можно использовать ту же самую математическую процедуру. Предположим, что мы заключили тело внутрь ящика, который ускоряется вместе со всем его содержимым. Тогда, с точки зре­ния наблюдателя, сидящего в этом ящике, на тело вследствие инерции будет действовать некая эффективная сила. Иначе го­воря, чтобы заставить тело двигаться вместе с ящиком, нужно подталкивать и ускорять его. Эта сила «уравновешивается силой инерции», которая равна массе тела, умноженной на ускорение ящика. Наблюдателю в ящике будет казаться, будто тело на­ходится в однородном гравитационном поле, величина g кото­рого равна ускорению ящика а. Таким образом, инерционные силы, возникающие вследствие ускорения тела, не имеют мо­мента относительно центра масс.

Этот факт имеет очень интересное следствие. В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента коли­чества движения остается справедливым даже для ускоряю­щегося тела, если взять ось, проходящую через центр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях: 1) ось фиксирована — в инерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.

§ 2. Положение центра масс

Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно знать некоторые трюки для вычис­ления положения центра масс. Один из таких трюков основан на использовании так называемой теоремы Паппа, которая ра­ботает следующим образом. Если мы возьмем какую-то замк­нутую фигуру и образуем твердое тело, вращая эту фигуру в пространстве так, чтобы каждая точка двигалась перпендику­лярно к плоскости фигуры, то объем образующегося при этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, прой­денное ее центром тяжести! Разумеется, эта теорема верна и в том случае, когда плоская фигура движется по прямой линии, перпендикулярной к ее площади, однако если мы движем ее по окружности или какой-то другой кривой, то при этом получа­ется гораздо более интересное тело. При движении по кривому пути внутренняя часть фигуры продвигается меньше, чем внеш­няя, и эти эффекты компенсируют друг друга. Так что если мы хотим определить центр масс плоской фигуры с однородной плотностью, то нужно помнить, что объем, образуемый враще­нием его относительно оси, равен расстоянию, которое проходит