Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение

§ 1. Свойства центра масс

§ 2. Положение центра масс

§ 3. Вычисление момента инерции

§ 4. Кинетическая энергия вращения

§ 1. Свойства центра масс

В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром масс. Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно твердым или жидким, звездным скоплением или чем-то другим), дей­ствует великое множество сил (конечно, имеют­ся в виду только внешние силы, поскольку все внутренние силы компенсируют друг друга), то результирующая сила приводит к такому уско­рению этой точки, как будто в ней сосредо­точена вся масса тела М. Давайте теперь обсу­дим свойство центра масс несколько подробнее.

Положение центра масс (сокращенно ц. м.) определяется уравнением

Это, разумеется, векторное уравнение, т. е. фактически три уравнения — по одному для каждого из трех направлений. Но мы будем рассматривать только x-направление; если вы поймете, что происходит в x-направлении, то поймете и два остальных. Что означает равен­ство Х ц . м .=Sm ix i/Sm i? Предположим на ми­нуту, что тело разделено на маленькие кусочки с одинаковой массой m , причем полная масса будет равна числу таких кусочков N, умножен­ному на массу одного кусочка, скажем 1 г, или какую-то другую единицу. Тогда наше уравне­ние просто означает, что нужно взять коорди­наты х всех кусочков, сложить их и резуль­тат разделить на число кусочков, т. е. X ц.м. =mSx i /mN=Sx i /N. Иными словами, если массы кусочков равны, то Х ц. м. -будет просто средним арифметическим x-коорди­нат всех кусочков. Но предположим, что один из кусочков вдвое тяжелее, чем каждый из остальных. Тогда в нашу формулу его координата будет входить с коэффициентом 2, т. е. в суммах ее нужно учитывать дважды. Нетрудно понять, почему это про­исходит. Ведь тяжелый кусочек можно представить себе как бы состоящим из двух легких, таких же, как и все остальные, так что, когда мы вычисляем среднее, его координату х нужно учитывать дважды: ведь кусочков-то в этом месте два. Таким образом, Х ц.м.равно просто среднему арифметическому х-координат всех масс, причем каждая координата считается некоторое число раз, пропорциональное массе, как будто она разделена на маленькие кусочки единичной массы. Исходя из этого, легко доказать, что Х ц.м.должна находиться где-то между самой близ­кой и самой далекой частичкой. Вообще центр масс должен лежать где-то внутри многогранника, проведенного через край­ние точки тела. Однако вовсе не обязательно, чтобы центр масс находился в самом теле; ведь могут быть тела, подобные окруж­ности, например обруч, центр масс которого находится в гео­метрическом центре, а не на самом обруче.

Конечно, если объект симметричен, например прямоугольник, обладающий линией симметрии, то его центр масс должен лежать где-то на этой линии. Кстати, прямоугольник имеет еще одну линию симметрии и это однозначно определяет поло­жение его центра масс. Для просто симметричного объекта центр масс должен лежать где-то на оси симметрии: ведь отри­цательных х в этом случае ровно столько же, сколько и поло­жительных.

Существует еще один очень забавный способ нахождения центра масс. Вообразите

себе тело, состоящее из двух кусков А и В (фиг, 19.1).

Фиг. 19.1. Центр масс сложного тела лежит на линии, соеди­няющей центры масс двух составляющих его частей.

Центр масс в этом случае можно найти сле­дующим образом. Находим сначала отдельно центры масс сос­тавных частей А и В и их полные массы М А и М B . После этого находим центр масс двух точечных тел, одно из которых имеет массу М А и расположено в центре масс части А, а другое — массу М B и расположено в центре масс части В, Полученная точка и будет центром масс всего тела. Другими словами, если нам известны центры масс всех частей сложного тела, то, чтобы найти его центр масс, не нужно повторять все сначала, а дос­таточно просто найти центр масс системы точечных тел с мас­сами, равными массам каждой из частей и расположенными в их центрах масс. Посмотрим, как это получается. Пусть мы хотим определить центр масс сложного тела, одни из частиц которого принадлежат части А, а другие — части В. При этом мы можем разбить полную сумму Sm ix iна сумму по части А, т. е. S Am ix iи сумму по части В, т. е. S Bm ix i. Если бы мы находили центр масс только части А, то нам потребовалась бы первая из этих сумм, которая, как вы знаете, равна М А Х А , т. е. полной массе части А на x-координату ее центра масс: это просто следствие теоремы о центре масс, применен­ной к части A. То же самое можно сказать и о части В. Сумма S B m i x i должна быть равна М В Х В . Сложив эти два результата, мы, конечно, должны получить MX, т. е.