Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение

С непривычки может показаться, что полный момент сил — ужас­но сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закону Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и (что особенно важно!) действуют по одной и той же прямой в противоположных направлениях (неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два мо­мента внутренних сил между двумя взаимодействующими час­тицами должны быть равны друг другу и направлены противо­положно, поскольку для любой оси плечи их будут одинаковы. Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси!

Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении боль­шого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общие свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма, Эта теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.

Особенно важным частным случаем этой теоремы является закон сохранения, момента количества движения, который гла­сит: если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается пос­тоянным.

Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер и может только крутиться вокруг какой-то оси. Любая часть такого объекта в любой момент времени расположена одинако­вым образом относительно других его частей. Попытаемся те­перь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса i-й частицы его равна m i, а положение ее (x i y i ,), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движения всех таких частиц, образующих тело. Для движущейся по окружности точки мо­мент количества движения равен, конечно, произведению ее мас­сы на скорость и на расстояние до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угловой скорости, умноженной на рас­стояние до оси:

L i=m iv ir i=m ir 2 iw. (18.20)

Суммируя l i для всех частиц, получаем

L=Iw, (18.21)

где

Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую мо­ментом инерции I. Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения (18.21) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Так что если мы имеем два тела равной массы, но в одном из них массы расположены дальше от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изобра­женном на фиг. 18.4.

Фиг. 18.4. Зависимость «инерции вращения» от плеча масс.

Масса M в этом устройстве не может па­дать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы m около оси вращения, причем грузик M будет как-то ускоряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы m гораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик M ускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции — суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.

Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко из­менить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чуде­са, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I 1, умноженному на угловую скорость ш 1, т. е. ваш момент количества движения равен I 1w 1 . Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I 2. Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение Iw должно остаться тем же самым, то I 1w 1должно быть равно I 2 w 2 . Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.