Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение

Хотя сразу и не видно, что это выражение является производ­ной от какой-то простой величины, но на самом деле оно равно производной от xm(dy/dt)-ym(dx/dt). Действительно,

Оказывается, таким образом, что момент силы равен скорости изменения со временем некоторой величины! Давайте обратим внимание на эту величину и прежде всего дадим ей имя. Она будет называться моментом количества движения, или угловым моментом, и обозначаться буквой L

Хотя во всех наших рассмотрениях мы не принимали в рас­чет теорию относительности, тем не менее второе выражение для L верно и при учете ее. Итак, мы нашли, что у обычного импульса также существует вращательный аналог — угловой момент, который связан с компонентами импульса точно так же, как и момент силы связан с компонентами силы! Так что если мы хотим вычислить момент количества движения отно­сительно какой-то оси, то должны взять тангенциальную сос­тавляющую импульса и умножить ее на радиус. Другими сло­вами, угловой момент показывает, насколько быстро движется частица вокруг какого-то центра, ведь он учитывает только тангенциальную часть импульса. Более того, чем дальше от центра удалена линия, по которой направлен импульс, тем больше будет угловой момент. Точно так же, поскольку гео­метрия в этом случае та же, что и в случае момента силы, су­ществует плечо импульса (оно, разумеется, не совпадает с плечом силы, действующей на частицу), которое равно расстоя­нию линии импульса от оси. Таким образом, угловой момент равен просто величине импульса, умноженного на его плечо. Точно так же, как и для момента силы, для углового момента мы можем написать следующие три формулы:

L=хр y -ур х =rp танг =р ·Плечо импульса. (18.17)

Момент количества движения, как и момент силы, зависит от положения оси, относительно которой он вычисляется.

Прежде чем перейти к рассмотрению более чем одной части­цы, применим полученные выше результаты к движению пла­неты вокруг Солнца. В каком направлении действует сила? Конечно, по направлению к Солнцу. А какой при этом будет момент силы? Разумеется, все зависит от того, в каком месте мы выберем ось, однако результат получится совсем простым, если в качестве точки вращения выбрать само Солнце. Посколь­ку момент силы равен силе, умноженной на ее плечо, или ком­поненте силы, перпендикулярной к радиусу r , умноженной на r , то в этом случае нет никакой тангенциальной составляющей силы, а поэтому момент силы относительно оси, проходящей через Солнце, равен нулю. Следовательно, момент количества движения должен оставаться постоянным. Давайте-ка посмот­рим, что это означает. Произведение тангенциальной компонен­ты скорости на массу и радиус, будучи моментом количества движения, должно оставаться постоянным, потому что скорость его изменения есть момент силы, который в нашем случае равен нулю. Это означает, что остается постоянным произведение тангенциальной компоненты скорости на радиус, поскольку масса-то уж, конечно, не изменяется. Но такая величина, ха­рактеризующая движение планеты, уже вычислялась нами раньше. Предположим, что мы взяли маленький промежуток времени Dt. Какое расстояние пройдет планета при своем дви­жении из точки Р в точку Q (фиг. 18.3)? Как велика площадь той области, которую «заметает» прямая, соединяющая пла­нету с Солнцем? Пренебрегая площадью QQ'P, которая очень мала по сравнению с OPQ, находим, что площадь этой области равна половине основания PQ, умноженного на высоту OR. Другими словами, «заметенная» площадь равна половине про­изведения скорости на ее плечо. Так что скорость изменения этой площади пропорциональна моменту количества движения, который остается постоянным. Итак, мы получим, что закон Кеплера о равных площадях за равные промежутки времени является просто словесным описанием закона сохранения мо­мента количества движения, когда моменты внешних сил от­сутствуют.

§ 4. Закон сохранения момента количества движения

Посмотрим теперь, что получается в случае большого коли­чества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разуме­ется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i-ю частицу (т. е. произведение силы, действующей на i-ю час­тицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количе­ства движения этой частицы, а момент количества движения i-й частицы в свою очередь равен произведению импульса час­тицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил t i- всех частиц и назвали это полным моментом сил t. Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы момен­тов количества движения всех частиц L i . Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L. Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному мо­менту сил