Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Фиг. 11.4 .Сложение векторов.

Мы видим, что прибавить составляющие вектора bк составляющим вектора апроще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими a. Поскольку aи bхорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b«ногами» на «голову» вектору a. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора аи «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» aна «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор c. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор aна число α. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами α а x , α а у , α a z . Докажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором - b=(-1) b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.

Фиг. 11,5 .Вычитание векторов.

На этом чертеже изображено d= a- b= a+(- b); заметим также, что, зная векторы aи b, разность a- bможно легко найти из эквивалентного соотношения a= b+ d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий bи a, и вы получите a- b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны x, y, z , то скорость ее равна dx / dt, dy / dt, dz / dt . Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx '/ dt . Видно, что величины dx / dt, dy / dt преобразуются по тому же закону, что и х и у . Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:

Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Δ t ? Ответ : на Δ r, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Δ r= r 2- r 1. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6.

Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время Δt=t 2 -t 1 .

Если разделить этот вектор на промежуток времени Δ t = t 2- t 1, то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t +Δ t и t , деленной на Δ t при Δ t , стремящемся к нулю:

(11.10)

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx / dt, dy / dt, dz / dt . Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.