Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических законов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач потребовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к минимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта система, называемая векторным анализом , определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый результат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику векторного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами . Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.

Все величины, имеющие направление, подобно шагу в пространстве, называются векторами .

Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р , определяемую координатами x, y и z , мы фактически должны задать три числа. Но мы будем использовать для этой цели один-единственный математический символ r, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем [12] В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка. . Это не одно число : символ rзадается тремя числами: x, y и z . Символ rозначает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к другой системе координат нужно заменить их числами х ', у ' и z '. Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и используем один и тот же символ в качестве представителя трех чисел x, y, z и трех чисел х ', у ', z '. Точнее говоря, мы используем один и тот же символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему координат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты x, y и r, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х ', у ' и z ', но мы пишем просто r, условившись, что этот символ служит представителем x, y, z , если мы пользуемся первой системой отсчета, и х ', у ', z ', если мы перешли к другой системе. Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объекта с трех разных точек зрения . Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической интуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ rпредставляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем оси системы отсчета.

Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила — еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые определяли переход тройки чисел x, y, z в х ' , у ', z '. Другими словами, вектор — это величина, определяемая тремя числами, которые преобразуются при изменениях системы координат так же, как составляющие шага в пространстве. Уравнение типа