Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Таким образом, в этой частной системе координат мы доказали, что a· bравно произведению длин векторов аи bна косинус угла между ними θ. Но если это верно в одной системе координат, то это верно и во всех системах , потому что а· bне зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энергией величину 1/ 2 mv 2, но если частица движется в пространстве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие скорости x, y и z , так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

(11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на вектор скорости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила Fпоработает вдоль пути s:

(11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль определенного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный вектор вдоль интересующего нас направления. Под единичным вектором мы будем понимать вектор, скалярное произведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i;тогда i· i=1.Скалярное произведение i· aравно acosθ, т. е. оно равно составляющей вектора авдоль направления i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая-то система координат x, y и z . Введем три вектора: i— единичный вектор вдоль оси х , j— единичный вектор вдоль оси y и k— единичный вектор вдоль оси z . Ясно, что i· i=l. Чему же равно произведение i· j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом,

(11.24)

Используя эти свойства векторов i , j, k, можно записать любой вектор aв виде

(11.25)

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться дальше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно определить еще одно произведение двух векторов, которое называется векторным произведением и записывается в виде а× b. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.

Хотя изучение законов физики интересно и поучительно, хотя они и помогают нам понимать природу и овладевать ее силами, все же порой стоит остановиться и поразмыслить: что же они на самом деле значат? Смысл любого утверждения — вещь, которая издавна, с незапамятных времен, интересовала и тревожила философов, а уж смысл физических законов тем более должен волновать нас, ведь повсеместно считается, что в этих законах таятся некоторые реальные знания. Смысл истины — это глубочайший философский вопрос; всегда важно вовремя спросить: что это значит?

Спросим же: в чем смысл физических законов Ньютона, в чем смысл формулы F= m a? В чем смысл силы, массы и ускорения? Мы интуитивно понимаем, что такое масса; мы можем также определить ускорение, если нам понятно, что такое место и что такое время. Смысл этих понятий мы поэтому не будем обсуждать, а сосредоточимся на новом понятии силы . И здесь ответ тоже весьма прост: если тело ускоряется, значит на него действует сила. Так говорят законы Ньютона, и самое точное и красивое из мыслимых определений силы состояло бы в том, что сила есть масса тела, умноженная на его ускорение.