Ян Лукасевич - О принципе противоречия у Аристотеля. Критическое исследование

«Если нечто значимо в отношении всех, то значимо и по отношению к некоторым и отдельным»; этот принцип в традиционной логике называется также dictum de omni. (Добавление Я. Воленьского). – 145.

Здесь Лукасевич ссылается на Дополнение: «Принцип противоречия и символическая логика» (§ 9) к этой книге. – 145.

Не следует дискутировать с кем-то, кто отрицает принципы. – 152.

Глава V.

См. Главу II.

«Далее, если в случае истинности утверждения ложно отрицание, а в случае истинности отрицания ложно утверждение, то не может быть правильным, если вместе утверждается и отрицается одно и то же». – 157.

«Но может быть, скажут, что мы этим утверждаем то, что с самого начала подлежало доказательству (to keimenon)». – 157.

Sigwart, Logik , Т. 1, цит. изд., с. 182 и далее.

Насколько мне известно, эту мысль впервые высказал Мейнонг, обсуждая некоторые обвинения Б. Рассела. В своей работе Über die Stellung der Gegenstandstheorie in System der Wissenschaften , Leipzig 1907, с. 16 он пишет: «Б. Рассел правильно акцентирует, что благодаря признанию таких [т. е. невозможных] предметов принцип противоречия утратил бы свою неограниченную значимость. Разумеется, я никоим образом не могу избежать этого следствия. […] Ведь принцип противоречия был соотносим ни с чем другим, как собственно с тем, что является действительным и возможным».

Имееся в виду статья Б. Расселла «Об обозначении», опубликованная в журнале Mind в 1905 г. Имеется перевод на русский язык в книге: Рассел Б. Избранные труды . Сибирское университетское изд-во, 2009. Статья А. Мейнонга переиздано в Alexius Meinong Gesamtausgabe , hrsg. von R. Haller und R. Kindinger gemeinsam mit R.M. Chisholm, 7 vols., Graz: Akademische Druck– u. Verlagsanstalt, 1968-1978: Bd. V, 197-365 (§ 3). – 160 ( сноска ).

Это деление Мейнонг представил в своих университетских лекциях, которые читал в Граце в зимнем семестре 1908/1909.

Сейчас я еще придерживаюсь взгляда Мейнонга. Однако возникает вопрос, не следует ли суждения этого вида, вроде «колонна из бронзы», «колонна не из бронзы», «треугольник есть равносторонний», «треугольник не есть равносторонний» и т. п. считать ложными? Этот вопрос находится в связи с принципом исключенного третьего, который, как известно, есть pendant [дополнение] по отношению к принципу противоречия. Если бы упомянутые сужде ния следовало бы считать ложными, то признаком несовершенных предметов было бы их не по дпадание под принцип исключенного третьего.

R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ? Braunschweig 1888, предисловие.

Это свойство бесконечных множеств обсуждал уже Галилей в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки» (1638). – 168.

Здесь приводится формулировка знаменитой континуум-гипотезы (1877) о том, что мощность континуума является наименьшей, превосходящей мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В публикации 1940 г. К. Гёдель доказал в предположении непротиворечивости теории множеств (система аксиом Цермело-Френкеля вместе с аксиомой выбора – ZFC), что исходя из ZFC континуум-гипотезу нельзя опровергнуть. В 1963 г. П. Коэн показал, что исходя из этих же предположений, континуум-гипотезу нельзя доказать. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFС. (Об этом также и примечание Я. Воленьского). – 169.

Здесь я имею в виду антиномию Бурали-Форти и родственные ей.

См. B. Russell, The Principles of Mathematics, Т. I, Cambridge 1903, Гл. X: The Contradiction. См. также G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik , Т. II., Jena 1903, с. 253 и далее.

В примечании 1 на с. 17 книги А. Френкеля и И. Бар-Хиллела «Основания теории множеств» (М: 1966) переводчик этой книги Ю.А. Гастев показывает, что при формулировке парадокса Рассела можно обойтись без закона исключенного третьего и снятия двойного отрицания. Таким образом, заключает Гастев, противоречие доказывается интуиционистски. – 172.

См. Grundgesetze der Arithmetik, пит. изд., с. 253. Nachwort.

То есть, решение, сохраняющее законы противоречия и исключенного третьего. Такие решения были предложены Расселом (теория типов) и Цермело (аксиоматическая теория множеств). – Прим. Я. Воленьского. – 172.