Feynmann - Feynmann 9

Воздействие на |y> оператора х ^ для получения |a> равнознач­но умножению y ( x )=< x |y> на х для получения a ( х )=< x |a>. Перед нами определение оператора х ^ в координатном представ­лении.

(Мы не задавались целью получить x -представление матрицы оператора х ^ . Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

т. е. что оператор х ^ обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние | x >, то это равнозначно умножению на х. )

А может, вы хотите знать среднее значение x 2? Оно равно

Или, если желаете, можно написать и так:

где

Под x ^ 2подразумевается х ^ х ^ — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать < x 2> ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состоя­ниями). Если вам нужно знать среднее значение х n или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.

§ 5 . Оператор импульса

Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р ( р ) dp — вероят­ность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p + dp . Тогда

Обозначим теперь через < р |y> амплитуду того, что состоя­ние |y> есть состояние с определенным импульсом | р >. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <���имп. р |y>; она является функцией от р, как < x |y> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было

Тогда получится

что очень похоже на то, что мы имели для < x > ср.

При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с < x > ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |b> определяется в импульсном представлении уравнением

Иначе говоря, теперь можно писать

причем

где оператор р ^ определяется на языке p -представления урав­нением (18.47).

[И опять при желании можно показать, что матричная запись р ^ такова:

и что

Выводится это так же. как и для х .

Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать < р > сртак, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл опе­ратора р ^ в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать р ^ в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция y ( x ) и мы со­бираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что за­дадим < p > cpуравнением (18.48), то это уравнение можно бу­дет разложить по p -представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p -представление состояния, а именно амплитуда < p |y> как алгебраическая функция импульса p , то из (18.47) можно получить < p |b> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x -представлении, а именно волновая функ­ция y ( x )=< x |y>?