Feynmann - Feynmann 9

Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x -представлении.

Напишем

Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |b> в x -представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять ин­теграл. Итак, наша задача — найти функцию b ( x )=< x |b>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как < р |b> связано с < x |b>. Согласно уравнению (14.24),

Если нам известно < р |b>, то, решив это уравнение, мы найдем < x |b>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через y ( x )=< x |y>, потому что считается, что именно эта ве­личина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем

Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл

Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что < x |b> равно p y( x )? Нет, напрасно! Волновая функция < х |b>=b( x ) может зависеть только от х, но не от р . В этом-то вся трудность.

К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) мо­жно проинтегрировать по частям. Производная e - ipx / h по х равна (- i / h ) pe - ipx / h , поэтому интеграл (18.55) это все равно, что

Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в

Пока речь идет только о связанных состояниях, y( x ) стремится к нулю при х ® ±Ґ, скобка равна нулю и мы имеем

А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что

Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:

Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |y>, то ответ был таков:

То же самое в координатном мире записывается так:

Здесь — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.

Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид

В координатном мире соответствующие уравнения таковы:

Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался

В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид

Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |y> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханического оператора. В координатном представле­нии мы генерируем соответствующую волновую функцию, дей­ствуя на волновую функцию y ( x ) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одно­мерных задач) между