Feynmann - Feynmann 9

Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, ... . (Для простоты остано­вимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х 1 : х 2, x 3 ,... . Запишем ее в виде y (x 1, х 2 , х 3 , ...). Сдвинем теперь систему (вле­во) на d. Новая волновая функция

может быть записана так:

Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |y> (назовем его полным импульсом) равняется

Но это все равно, что написать

Операторы импульса подчиняются тому правилу, что пол­ный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.

§ 6. Момент количества движения

Для интереса рассмотрим еще одну операцию — операцию орбитального момента количества движения. В гл. 15 мы опре­делили оператор J ^ z через R ^ z (j) — оператор поворота на угол j вокруг оси z. Рассмотрим сейчас систему, описываемую всего лишь одной-единственной волновой функцией y( r), которая является функцией одних только координат и не учитывает того факта, что спин у электрона должен быть направлен либо вверх, либо вниз. Это значит, что мы собираемся пока пренебречь внутренним моментом количества движения и намерены ду­мать только об орбитальной части. Чтобы подчеркнуть разли­чие, обозначим орбитальный оператор L ^ z и определим его че­рез оператор поворота на бесконечно малый угол e формулой

(напоминаем: это определение применимо только к состоянию |y>, у которого нет внутренних спиновых переменных, а есть только зависимость от координат r: х, у, z ). Если мы взглянем на состояние |y> из новой системы координат, повернутой во­круг оси z на небольшой угол e, то увидим новое состояние:

Если мы решили описывать состояние |y> в координатном представлении, т. е. с помощью его волновой функции y ( r), то следует ожидать такого равенства:

Что же такое ? А вот что. Точка Р (х, у) в новой системе коор­динат (на самом деле х', у', но мы убрали штрихи) раньше имела координаты x - ey и y +e x (фиг. 18.2).

Фиг. 18.2. Поворот осей во­круг оси z на малый угол e .

Поскольку амплитуда того, что электрон окажется в точке Р , не меняется от поворота систе­мы координат, то можно писать

(напоминаем, что e — малый угол). Это означает, что

Это и есть наш ответ. Обратите, однако, внимание, что это определение эквивалентно такому:

Или, если вернуться к нашим квантовомеханическим операто­рам, можно написать

Эту формулу легко запомнить, потому что она похожа на знако­мую формулу классической механики: это z-компонента вектор­ного произведения