Feynmann - Feynmann 9

Поэтому можно написать

Вспомним, что x >=< x |y>*=y*( x ); с помощью этого равенства среднее значение энергии в (18.23) можно записать в виде

Если волновая функция y ( x ) известна, то, взяв этот интеграл, вы получите среднюю энергию. Вы теперь начинаете понимать, как от представлений о волновом векторе можно перейти к пред­ставлению о волновой функции и обратно.

Величина в фигурных скобках в (18.27) это алгебраический оператор. [«Оператор» V ( x ) означает «умножь на V ( x ) ». ] Мы обоз­начим его

В этих обозначениях (18.23) превращается в

Определенный здесь алгебраический оператор , конечно, не тождествен с квантовомеханическим оператором Н ^ . Новый оператор действует на функцию координаты y( x )=< x |y>, об­разуя новую функцию от х, j( x )=< x |j>, а H ^ действует на век­тор состояния |y>, образуя другой вектор состояния |ф>, причем не имеется в виду ни координатное, ни вообще какое-либо частное представление. Мало того, даже в координатном представлении не совсем то же, что Н ^ . Если бы мы решили работать в координатном представлении, то смысл оператору H ^ пришлось бы придавать с помощью матрицы < x | H ^| x '>, кото­рая как-то зависит от двух «индексов» x и x '; иначе говоря, сле­довало бы ожидать, что [как утверждает (18.25)] < x |j> свя­зано со всеми амплитудами < x |y> операцией интегрирования. А с другой стороны, мы нашли, что — это дифференциальный оператор. Связь между < x | H ^| х' > и алгебраическим оператором

мы уже выясняли в гл. 14, § 5.

Наши результаты нуждаются в одном уточнении. Мы пред­положили, что амплитуда y ( x )=< x |y> нормирована, т, е. мас­штабы выбраны так, что

и вероятность увидеть электрон все равно где равна единице. Но вы могли бы, если бы захотели работать с ненормирован­ной y ( х ) , следовало бы только писать

Это одно и то же.

Обратите внимание на сходство между (18.28) и (18.18). Оба эти способа записи одного и того же результата при работе в x -представлении часто встречаются. От первого можно пе­рейти ко второму, если А ^ — локальный оператор, т. е. такой, для которого интеграл

может быть записан в виде , где — дифференциальный алгебраический оператор. Однако встречаются операторы, для которых это неверно. Тогда приходится работать с ис­ходными уравнениями (18.21) и (18.22).

Наш вывод легко обобщается на три измерения. Итог таков:

где

причем подразумевается, что

Такие же уравнения получаются довольно очевидным образом и при обобщении на системы с несколькими электронами, но мы не будем сейчас заниматься выписыванием результатов.