Feynmann - Feynmann 9

, создающий новое состояние обращением всех координат. Встре­чались и операторы s х , s у и s z для частиц со спином 1/ 2.

Оператор J ^ zопределялся в гл. 15 через оператор поворота на малые углы e:

Это, конечно, попросту означает, что

В этом примере J ^ z|y> — это умноженное на h / i e состояние, получаемое тоща, когда вы повернете |y> на малый угол e и затем вычтете прежнее состояние. Оно представляет «состоя­ние», являющееся разностью двух состояний.

Еще один пример. Мы имели оператор р ^ х , он назывался опе­ратором ( x -компоненты) импульса и определялся уравнением, похожим на (18.6). Если D ^ x ( L ) — оператор, который смещает состояние вдоль х на длину L , то р ^ х определялось так:

где d — малое смещение. Смещение состояния |y> вдоль оси х на небольшое расстояние d дает новое состояние |y'>. Мы го­ворим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек

Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на |y>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебра­ические операторы, действующие на математические функции. Например, d / dx это «оператор», действие которого на f ( x ) соз­дает из f ( x ) новую функцию f ' ( x ) = df / dx . Другой пример ал­гебраического оператора — это С 2. Можно понять, отчего в обоих случаях пользуются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это разные типы операторов. Квантовомеханический оператор А действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на |y>. В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы уви­дите, в уравнениях сходного типа.

Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду эту разницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие между одними операторами и другими. И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково!

Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о мно­гих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор А ^ , матрица которого в каком-то базисе есть A ij =< i | A ^ | j >. Амплитуда того, что состояние A ^|y> находится также в некотором другом состоянии |j>, есть A ^|y>. Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитуды? Вы, вероятно, сможете показать, что

где А^ + (читается «А с крестом») это оператор, матричные эле­менты которого равны

A + ij =( A ji )*. (18.9)

Иначе говоря, чтобы получить i , j -и элемент матрицы А + , вы обращаетесь к j , i -му элементу матрицы А (индексы пере­ставлены) и комплексно его сопрягаете. Амплитуда того, что состояние А^ + |j> находится в состоянии |y>, комплексно сопряжена амплитуде того, что А ^ |y> находится в |j>. Опера­тор А ^ + называется «эрмитово сопряженным» оператору А ^ . Мно­гие важные операторы квантовой механики имеют специальное свойство: если вы их эрмитово сопрягаете, вы опять возвращае­тесь к тому же оператору. Если В как раз такой оператор, то В^ + =В ^ ; его называют «самосопряженным», или «эрмитовым», оператором.

§ 2. Средние энергии

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е.