Feynmann - Feynmann 9

Итак, в полярных координатах уравнение, которому должна удовлетворять функция y( r , q, j), принимает вид

§ 2. Сферически симметричные решения

Попробуем сперва отыскать какую-нибудь функцию попроще, чтобы она удовлетворяла уравнению (17.7). Хотя волновая функция y в общем случае будет зависеть как от q и j, так и от r, можно все же поискать, не бывает ли такого особого случая, когда y не зависит от углов. Если волновая функция от углов не зависит, то при поворотах системы координат ни одна из амплитуд никак не будет меняться. Это означает, что все ком­поненты момента количества движения равны нулю. Такая функция y должна соответствовать состоянию с равным нулю полным моментом количества движения. (На самом деле, ко­нечно, равен нулю только орбитальный момент количества дви­жения, потому что остается еще спин электрона, но мы на эту часть момента не обращаем внимания.) Состояние с нулевым орбитальным моментом количества движения имеет особое на­звание. Его называют «s-состоянием» (можете считать, что s от слова «сферически симметричный»).

Раз y не собирается зависеть от q и j, то в полном лапласиане останется только один первый член и (17.7) сильно упростится:

· Прежде чем заняться решением подобного уравнения, хорошо

; бы, изменив масштаб, убрать из него все лишние константы

вроде е 2, m , h . От этого выкладки станут легче. Если сделать подстановки

то уравнение (17.8) обратится (после умножения на r) в

Эти изменения масштаба означают, что мы измеряем расстояние r и энергию Е в «естественных» атомных единицах. Например, r= r / r B , где r B = h 2 / me 2 , называется «боровским радиусом» и равно примерно 0,528 Е. Точно так же e = E / E R , где E R = me 4 /2 h 2 . Эта энергия называется «ридбергом» и равна примерно 13,6 эв. Раз произведение ry встречается в обеих частях уравнения, то лучше работать с ним, чем с самим y . Обозначив

ry= f , (17.12)

мы получим уравнение, которое выглядит проще:

Теперь нам предстоит найти функцию f , которая удовлет­воряет уравнению (17.13), иными словами, просто решить диф­ференциальное уравнение. К сожалению, не существует ника­ких общих, годных во всех случаях жизни методов решения любого дифференциального уравнения. Вы должны просто по­крутить его то так, то этак. Хоть уравнение не из легких, но лю­ди все же нашли, что его можно решить при помощи следующей процедуры. Первым делом вы заменяете f , которое является некоторой функцией от r, произведением двух функций:

Это просто означает, что вы выносите из f (r) множитель е - a r . Для любого f (r) это можно сделать. Задача теперь просто све­лась к отысканию подходящей функции g (r).

Подставив (17.14) в (17.13), мы получим следующее уравне­ние для g :

Мы вправе выбрать любое a, поэтому сделаем так, чтобы было

a 2=-e; (17.16)

тогда получим

Вы можете подумать, что мы не так уж далеко ушли от урав­нения (17.13); но новое уравнение тем хорошо, что его можно легко решить разложением g (r) в ряд по r. В принципе есть возможность таким же способом решать и (17.13), но только все проходит сложнее. Мы говорим: уравнению (17.17) можно удов­летворить некоторой функцией g (r), которая записывается в виде ряда