Feynmann - Feynmann 9

Эти законы объединения моментов количества движения имеют очень важное значение в физике частиц, их приложениям поистине нет конца. К сожалению, у нас нет сейчас больше вре­мени на другие примеры.

Добавление 1. Вывод матрицы поворота

Для тех, кто хотел бы разобраться в этом поподробнее, мы вычислим сейчас общую матрицу поворота для системы со спи­ном (полным моментом количества движения) j . В расчете об­щего случая на самом деле большой необходимости нет; важно понять идею, а все результаты вы сможете найти в таблицах, которые приводятся во многих книжках. Но, с другой стороны, вы зашли уже так далеко, что у вас, естественно, может возник­нуть желание убедиться, что вы и впрямь в состоянии понять даже столь сложные формулы квантовой механики, как (16.35).

Расширим рассуждения § 4 на систему со спином j , которую будем считать составленной из 2/ объектов со спином 1/ 2. Состоя­ние с m = j имело бы вид | + + + . . . +> (с j плюсами). Для m = j - 1 было бы 2 j членов типа | + + . . . + + ->, | + + . . . +- +> и т. д. Рассмотрим общий случай, когда имеет­ся r плюсов и s минусов, причем r + s =2 j . При повороте вокруг оси r от каждого из r плюсов появится множитель e + i j /2 . В итоге фаза изменится на i ( r /2- s /2)j. Мы видим, что

m =( r - s )/ 2 . (16.59)

Как и в случае J = 3/ 2, каждое состояние с определенным т должно быть суммой всех состояний с одними и теми же r и s , взятых со знаком плюс, т. е. состояний, отвечающих всевозмож­ным перестановкам с r плюсами и s минусами. Мы считаем, что вам известно, что всего таких сочетаний есть (r+s)!/r!s!. Чтобы нормировать каждое состояние, надо эту сумму разделить на корень квадратный из этого числа. Можно написать

где

Введем еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа r и s определяют состояние ничуть не хуже, чем j и m . Мы легче проследим за выкладками, если обозначим

где [см.. (16.61)]

r = j + m , s = j - т.

Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь специальным обозна­чением

Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на + 1/ 2. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз N =(r+s)!/r!s! слагаемых. Если сопоста­вить (16.63) с (16.60), то ясно, что

— это краткая запись выражения

где N — количество различных слагаемых в скобках. Эти обо­значения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он полу­чается в r -й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в s -й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.

Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол q. Нас интересует . Оператор R y (q), дей­ствуя на каждый |+>, дает

где С =cosq/2 и S = sin q/2. Когда же R y (q) действует на | ->, это приводит к

Так что искомое выражение равно

Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. По­явятся члены со всеми степенями |+ у от нуля до r+s. Посмот­рим, какие члены дадут r'-ю степень |+ ). Они всегда будут сопровождаться множителем типа |-> s ', где s '=2 j - r '. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+> r '|-> s 'с численными коэффициентами А r ' , куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S . Урав­нение (16.65) тогда будет выглядеть так: