Feynmann - Feynmann 9

<���протон летит по + z ', спин по + z '| H |L, спин по +z>. (15.42)

По общим теоремам квантовой механики эту амплитуду можно записать так:

2S<���протон летит по + z', спин по +z'|H|L, i > i |L, спин по +z>,

(15.43)

где суммирование проводится но базисным состояниям |L, i > покоящейся L-частицы. Поскольку спин L-частнцы равен 1/ 2, таких состояний два, л каком бы базисе мы ни работали. Если в качестве базисных мы выберем состояния со спином, направленным вверх и вниз по отношению к оси z'(|+z'>, |-z'>), то амплитуда (15.43) будет равна сумме

<���протон летит по +z', спин по +z'| H |L, +z'> + +<���протон летит по +z', спин по +z'| H |L,-z'>. (15.44).

Первый множитель в первом слагаемом равен а [из (15.38)], а первый множитель во втором слагаемом равен нулю — из формулы (15.41), в свою очередь следующей из сохранения момента количества движения. Второй множитель из первого слагаемого — это как раз амплитуда того, что частица со спином 1/ 2, направленным вверх по одной оси, будет также обладать спином, направленным вверх по другой оси, повернутой относительно первой на угол q . Такая амплитуда равна cosq/2 [см. табл. 4.2 (вып. 8)]. Так что (15.44) равно просто а созq/2, как и было написано в (15.33). Амплитуда (15.34) следует из таких же рассуж­дений для L-частицы со спином, направленным вниз.

· · ·

§ 6. Сводка матриц поворота

Теперь мы хотим собрать воедино все, что мы узнали о пово­ротах частиц со спином 1/ 2и спином 1; это будет удобно для дальнейшего. Ниже вы найдете таблицы двух матриц поворота R z (j) и R y (q) для частиц со спином 1/ 2, для частиц со спином 1 и для фотонов (частиц со спином 1 и нулевой массой).

Для каждого из них приведены элементы матрицы < j | R | i > по­воротов вокруг оси 2 или оси y . Они, конечно, в точности экви­валентны амплитудам типа <+ Т |0 S >, которыми мы поль­зовались в предыдущих главах. Под R z (j) мы понимаем, что берется проекция состояния на новую систему координат, по­вернутую на угол j вокруг оси z, причем для определения направ­ления поворота всегда применяется правило правой руки; R V (q) означает, что оси координат повернуты на угол 9 вокруг оси у. Зная эти два поворота, вы запросто сможете рассчитать любой поворот. Как обычно, матричный элемент пишется так, что со­стояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние старой (неповернутой) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка e i j /2 в табл. 15.1 означает, что матричный элемент < — | R | —> = е - i j /2. Но это означает также, что R ^ | — >=е - i j / 2| — } или что

<���— | R ^ = <���— |e - i j. Это все одно и то же.

* Вспомните, что спин — это аксиальный вектор и при отражении он переворачивается.

* Мы провели ось z ' в плоскости xz и используем матричные элементы для R y ( q ). То же получилось бы и при другом выборе осей.

* Мы сейчас предполагаем, что механизм квантовой механики вам настолько знаком, что обо всем можно говорить на чисто физическом языке, не тратя времени на расписывание всех математических деталей. Но если то, что мы здесь говорим, вам не очень ясно, то обратитесь к концу этого параграфа, где приведены некоторые недостающие детали.

* Мы попытались на худой конец доказать, что компонента момента количества движения вдоль направления движения у частицы с нулевой массой должна быть, например, кратной h /2, а не h /3. Но даже приведя в действие всевозможные свойства преобразований Лоренца (и многое дру­гое), мы с этим не справились. Может, этой не так. Надо было бы потол­ковать об этом с профессором Вигнером, который знает все о таких вещах.