Feynmann - Feynmann 9

Теперь при данных k 1 и k 2амплитуда С m , n не зависит от того, в каком порядке мы берем х m и х n ; если мы случайно поставим х m и х n в обратном порядке, мы получим ту же амплитуду. И на­ше толкование уравнения (13.24) на языке «магнонов» тоже ста­нет иным. Уже нельзя говорить, что уравнение представляет одну частицу с волновым числом k 1и другую частицу с волновым числом k 2. Амплитуда (13.24) представляет одно состояние с двумя частицами (магнонами). Состояние характеризуется дву­мя волновыми числами k 1 и k 2 . Наше решение выглядит как со­ставное состояние одной частицы с импульсом р 1= k 1/ h и дру­гой частицы с импульсом р 2 = k 2 / h , но в этом состоянии нельзя сказать, где какая частица.

В этот момент полезно вспомнить гл. 2 (вып. 8) и наш рас­сказ о тождественных частицах. Мы просто только что показали, что частицы спиновых волн (магноны) ведут себя как тождест­венные бозе-частицы. Все амплитуды обязаны быть симметрич­ны по координатам двух частиц; это все равно, что сказать, что после «обмена двумя частицами» мы снова получим ту же амплитуду с тем же знаком. Но вы можете подумать: «Почему же мы все-таки решили в (13.24) сложить два члена? Почему не вычесть?» Ведь при знаке минус обмен х m и х n просто изменил бы знак а m , n , а это не в счет, это не имеет значения. Но ведь об­мен х m с х n ничего не меняет — все электроны кристалла оста­нутся там же, где и были, так что даже для перемены знака нет, казалось бы, никакого повода. Но это, конечно, плохой ар­гумент.

Наше обсуждение имело двойную цель: во-первых, расска­зать вам кое-что о спиновых волнах; во-вторых, продемонстри­ровать состояние, амплитуда которого равна произведению двух амплитуд, а энергия равна сумме энергий, отвечающих этим амплитудам. Для независимых частиц амплитуда получается умножением, а энергия — сложением. Почему сложением — легко понять. Энергия — это коэффициент при t в мнимом пока­зателе экспоненты; она пропорциональна частоте. Если пара объектов что-то совершает, один с амплитудой , а другой . с амплитудой , и если амплитуда того, что обе эти вещи произойдут вместе, является произведением отдельных ампли­туд, то в произведении появится единственная частота, равная сумме двух частот. Энергия, отвечающая произведению ампли­туд, есть сумма обеих энергий.

Нам понадобилось довольно долго говорить, чтобы сообщить очень простую вещь: когда вы не учитываете взаимодействия между частицами, вы вправе рассматривать каждую частицу независимо. Они могут отдельно существовать во всевозможных состояниях, в которых они пребывали бы и порознь, и давать тот же вклад в энергию, какой давали бы порознь. Однако сле­дует помнить, что если частицы тождественны, то они могут вести себя как бозе- или ферми-частицы в зависимости от за­дачи. Например, пара электронов, добавленная к кристаллу, ведет себя как ферми-частицы. Обмен местоположениями двух электронов приводит к перемене знака амплитуды. В уравне­нии, соответствующем (13.24), между двумя слагаемыми стоит знак минус. Как следствие этого: две ферми-частицы не могут пребывать в точности в одних и тех же условиях — с одинако­выми спинами и одинаковыми k . Амплитуда такого состояния нуль.

§ 4. Молекула бензола

Хотя квантовая механика снабжает нас основными закона­ми, определяющими строение молекул, эти законы, однако, удается точно применить лишь к самым простым соединениям. Поэтому химики разработали различные приближенные спосо­бы расчета некоторых из свойств сложных молекул. Мы хотим здесь рассказать, как химики-органики применяют приближе­ние независимых частиц. Начнем с молекулы бензола. Мы ее рассматривали с другой точки зрения в гл. 8 (вып. 8). Тогда мы воспользовались приближенным представлением молекулы в виде системы с двумя состояниями, базисные состояния которой показаны на фиг. 13.3. Имеется кольцо из шести углеродов, к каждому из которых приделано по водороду. По принятой схеме валентных связей необходимо допустить, что между поло­виной атомов углерода имеются двойные связи и что в низших энергетических условиях воз­никают две возможности, по­казанные на рисунке. Но, кроме этого, имеются и еще другие, более высокоэнерге­тические состояния. Когда мы в гл. 8 говорили о моле­куле бензола, мы пользова­лись только двумя состоя­ниями, а прочие забыли. И мы обнаружили, что энергия основного состояния молекулы не совпадала с энергией ни одного из нарисованных состояний; нет, она была ниже на величину, пропорциональную амплитуде переброса из одного такого состояния в другое.