Feynmann - Feynmann 9

Е =2 A (1-coskb) , (13.12)

где b — постоянная решетки.

Решения с определенной энергией отвечают «волнам» перево­рота спина, называемым «спиновыми волнами». И для каждой длины волны имеется соответствующая энергия. Для больших длин волн (малых k ) эта энергия меняется по закону

Е=А b 2 k 2 . (13.13)

Как и прежде, мы можем теперь взять локализованный волно­вой пакет (содержащий, однако, только длинные волны), кото­рый соответствует тому, что электрон-«перевертыш» окажется в такой-то части решетки. Этот перевернутый спин будет вести себя как «частица». Так как ее энергия связана с k формулой (13.13), то эффективная масса «частицы» будет равна

Такие «частицы» иногда именуют «магнонами».

§ 2. Две спиновые волны

Теперь мы хотели бы выяснить, что происходит, когда име­ется пара перевернутых спинов. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Состояния с двумя переверну­тыми спинами.

Эти состояния можно, скажем, отмечать x -координатами тех двух узлов решетки, в которых оказались электроны с пе­ревернутым спином. То, что на рисунке, можно обозначить | х 2 , х 5> . В общем случае базисные состояния будут | х n , х m > — дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние | x 4 , х 9 > и состояние | х 9 , x 4> совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевер­нут; порядок их не имеет значения. Не имеет также смысла состояние | x 4, х 4> — такого просто быть не может. Любое со­стояние |y> мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний.

Итак, С m , n = < х m ,х n |y> теперь означает амплитуду того, что система в состоянии |y> окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи m -го и n -го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)

Уравнения движения спиновой системы — это дифферен­циальные уравнения для С n , m :

Пусть нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в Е, умноженное на амплитуду, a C m , n , заменятся коэффициентами а m , n . Затем надо аккуратно рассчитать влияние Н на состояние с перевернутыми спинами т и п. Это сделать нетрудно. Представьте на минуту, что т далеко от n , так что не нужно думать, что будет, если ... и т. д. Обменная операция, производимая в точке х n , передвинет перевернутый спин либо к ( n +1)-му, либо к ( n -1)-му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния |х m , х n +1> , и амплитуда того, что оно произошло из состояния |х m , х n - 1> . Но передви­нуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что С m , n питается от С m +1 , n или от С m - 1 , n . Все эти эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гамильтонова уравнения для С m.n таков:

Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух слу­чаев. При m = n уравнения вообще нет, а при m = n ±1 пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем. Мы просто будем игнорировать тот факт, что не­которые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно на чем-то скажется. Итак, в первом грубом прибли­жении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными сло­вами, допустим, что (13.16) верно при всех m и n , даже когда m и n стоят по соседству. Это самое существенное в нашем прибли­жении.