Feynmann - Feynmann 8a

(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем про­изволом в выборе фаз, который мы использовали в гл. 4.) Полный гамильтониан для электрона в произвольном маг­нитном поле, следовательно, равен

уравнения для амплитуд С 1и С 2таковы:

Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некото­рыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается в том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда маг­нитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.23) для решения всевозможных инте­ресных задач.

§ 7. Вращающийся электрон в магнитном поле

Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состоя­ния с энергиями ± m В z . Добавим небольшое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщеп­ляются. Пусть, далее, x -компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как coswt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от +z-состояния к —z-состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, w 0=2m B z/ h . Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнит­ного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).

Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином 1/ 2. Прибор Штерна — Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнит­ным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.

Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом 6 и азимутальным углом j (фиг. 8.10).

Фиг. 8.10. Направление В опре­деляется полярным углом q и ази­мутальным углом j .

Допу­стим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С 1 и С 2 для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |y>, мы хотим написать

где C 1 и С 2равны

а | 1 > и | 2 > обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).

Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон нахо­дится в стационарном состоянии с энергией Е I = - m В. Поэтому и c 1и С 2должны изменяться как

[см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а 1 и а 2даются формулой (8.5):

Вдобавок a 1и а 2должны быть нормированы так, чтобы было | a | 2+| а 2| 2=1. Величины Н 11 и H 12мы можем взять из (8.22), используя равенства