Feynmann - Feynmann 8a

В этом частном случае гамильтониан равен

Итак, мы знаем, какой вид имеет гамильтониан, когда магнит­ное поле направлено по z, и знаем еще энергии стационарных состояний.

А теперь пусть поле не направлено по z. Каков теперь га­мильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по z? Мы сделаем предположение, что для членов гамильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции. Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля нала­гаются одно на другое, то члены гамильтониана просто склады­ваются: если нам известно H ij для поля, состоящего из одной только компоненты B z , и известно Н ij для одной только В х , то H ij для поля с компонентами B z , B x получится простым сло­жением. Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении z: если удвоить B z , то удвоятся и все Н ij . Итак, давайте допустим, что Н линейно по полю В. Чтобы найти H ij для какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно.

Пусть у нас есть постоянное поле В. Мы бы могли провести нашу ось z в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями ±mВ. Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы ±m B , т. е.

Дальше все уже совсем легко. У нас есть формулы для энер­гий. Нам нужен гамильтониан, линейный по В х , В y и B z , который даст именно такие энергии, если применить нашу общую фор­мулу (8.3). Задача — найти гамильтониан. Прежде всего за­метим, что энергия расщепляется симметрично и ее среднее значение есть нуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для этого требуется

Н 22=- H 11.

(Заметьте, что это подтверждается тем, что нам уже известно при В x =В y =0; в этом случае Н 11 = - m B z и H 22=m B z .) Если теперь приравнять энергии из (8.3) к тому, что нам известно из (8.19), то получится

(Мы использовали также тот факт, что Н 21 =Н* 1 2 , так что H 12 H 21может быть записано в виде | Н 12 | 2.) Опять в частном случае поля в направлении z это даст

откуда | H 12| в этом частном случае равно нулю, что означает, что в H 12 не может войти член с В z . (Вы помните, что мы гово­рили о линейности всех членов по В х , В y и B z .)

Итак, пока мы узнали, что в Н 11 и H 22входят члены с В z , а в H 12и H 21— нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав

H 11=-m В z,

H 22=m B z

и

Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!

«Погодите,— скажете вы,— H 12по В не линейно. Из (8.21) следует, что H 12=mЦ( В 2 x +В 2 y ) » . Не обязательно. Есть и дру­гая возможность, которая уже линейна, а именно

Н 12 = m ( В x + iB y ) .

На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать

где d — произвольная фаза.

Какой же знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказы­вается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — это вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать е i d=-1. Мы можем делать так же и написать