Feynmann - Feynmann 8

Для следующего шага нужно еще немного информации. Пусть мы добавили третий прибор (назовем его U ), стоящий вслед за Т под каким-то произвольным углом (фиг. 4.3, а).

Фиг. 4.3. Если Т «открыт до отказа», то б эквивалентно а.

(Все это начинает выглядеть устрашающе, но в этом-то и прелесть отвлеченного мышления: самые сверхъестественные опыты можно ставить, просто проводя новые линии!) Что же пред­ставляет собой преобразование S ® Т ® U ? Фактически нас интересует амплитуда перехода из некоторого состояния по отношению к S к некоторому другому состоянию по отношению к U , если известны преобразования от S к Т и от Т к U , Поин­тересуемся сперва опытом, в котором в Т открыты оба канала. Ответ можно получить, дважды подряд применяя (4.5). Для перехода от S -представления к T -представлению имеем

где верхние индексы TS нужны, чтобы отличать это R от R UT , когда мы будем переходить от Т к U .

Обозначая амплитуды появления атома в базисных состоя­ниях представления U через C " k , можно связать их с T -амплитудами, применяя (4.5) еще раз; получим

Теперь можно из (4.6) и (4.7) получить преобразование от S прямо к U . Подставляя С ' j из (4.6) в (4.7), имеем

Или, поскольку в R UT kj отсутствует i , можно поставить сум­мирование по i впереди и написать

Это и есть формула двойного преобразования.

Заметьте, однако, что, пока пучки в Т не загораживаются, состояния на выходе из Т те же, что и при входе в него. Мы могли бы с равным успехом делать преобразования из S -представления прямо в представление U . Это значило бы, что прибор U по­ставлен прямо за S , как на фиг. 4.3, б. В этом случае мы бы написали

где R US ki — коэффициенты, принадлежащие этому преобразо­ванию. Но ясно, что (4.9) и (4.10) должны приводить к одинако­вым амплитудам С " k , причем независимо от того, каково было то начальное состояние j, которое снабдило нас амплитудами С i . Значит, должно быть

Иными словами, для любого поворота S ® U базиса, если рас­сматривать его как два последовательных поворота S ® Т и Т ® U , можно получить матрицу поворота r us ki из матриц двух частных поворотов при помощи формулы (4.11). Если угод­но, (4.11) следует прямо из (4.1) и представляет собой лишь другую запись формулы:

Для полноты добавим еще следующее. Но не думайте, что это будет что-то страшно важное; если хотите, переходите, не читая, прямо к следующему параграфу. Надо сознаться, что то, что мы сказали, не совсем верно. Мы не можем на самом деле утверждать, что (4.9) и (4.10) обязаны привести к абсолют­но одинаковым амплитудам. Одинаковыми должны оказаться только физические результаты; сами же амплитуды, могут отличаться на общий фазовый множитель типа e i d, не меняя результатов никаких расчетов, касающихся реального мира. Иначе говоря, вместо (4.11) единственное, что можно утвер­ждать,— это

где d — какая-то вещественная постоянная величина. Смысл этого добавочного множителя е i d, конечно, в том, что амплиту­ды, которые мы получим, пользуясь матрицей R US , могут все отличаться на одну и ту же фазу (е - i d ) от амплитуд, которые получились бы из двух поворотов R UT и R TS . Но мы знаем, что если все амплитуды изменить на одинаковую фазу, то это ни на чем не скажется. Так что при желании можно этот фазовый множитель просто игнорировать. Оказывается, однако, что если определить нашу матрицу поворота особым образом, то этот фазовый множитель вообще не появится: б в (4.12) всегда будет нулем. Хотя это и не отражается на наших дальнейших рассуждениях, мы беремся это быстро доказать, пользуясь ма­тематической теоремой о детерминантах. [А если вы до сих пор мало знакомы с детерминантами, то не следите за доказатель­ством и прямо переходите к определению (4.15).)