Feynmann - Feynmann 7

Мне бы хотелось показать вам, как можно доказать эту теорему, но детали доказательства я предоставлю вам самим.

Возьмем сначала электрон в центральном силовом поле. На него просто действует направленная к центру сила F ( r ). Если теперь включить однородное магнитное поле, то появится до­полнительная сила q vX В, так что полная сила будет равна

F(r)+q vXB. (34.18)

Посмотрим теперь на те же самые электроны из системы коор­динат, вращающейся с угловой скоростью w относительно оси, проходящей через центр силы и параллельной полю В. Она уже не будет инерциальной системой, а посему нам нужно доба­вить надлежащие псевдосилы: центробежные силы и силы Кориолиса, о которых мы говорили в гл. 19 (вып. 2). Там мы обна­ружили, что в системе отсчета, вращающейся с угловой ско­ростью w, действуют кажущиеся тангенциальные силы, пропор­циональные v r — радиальной компоненте скорости:

F t = -2 m w v r . (34.19) Кроме того, там действует кажущаяся радиальная сила

F r = m w 2 r +2 m w v t , (34.20)

где v t — тангенциальная компонента скорости, измеряемая во вращающейся системе отсчета. (Радиальная компонента v r одна и та же как для вращающихся, так и для инерциальных систем.)

Теперь для достаточно малых угловых скоростей (т. е. когда ( w r << v t ) первым (центробежным) слагаемым в уравнении (34.20) можно пренебречь по сравнению со вторым (кориолисовым). После этого уравнения (34.19) и (34.20) можно записать вместе как

F=-(2mwXv). (34.21)

Если же теперь скомбинировать вращение и магнитное поле, то мы должны к силе (34.18) добавить силу (34.21). Полная сила получится такой:

F(r)+q vX B+2m vX w. (34.22)

[В последнем слагаемом по сравнению с (34.21) мы переставили сомножители в векторном произведении и изменили знак.] Взглянув теперь на полученный результат, мы видим, что если

2m w=-q B ,

то последние два члена сократятся, и единственной силой в дви­жущейся системе будет сила F(r). Движение электрона будет таким же, как и в отсутствие магнитного поля, но добавится, разумеется, вращение. Мы доказали теорему Лармора для одного электрона. Поскольку при доказательстве мы предполагали со малым, то это означает, что теорема верна только для слабых магнитных полей. Единственно, что я прошу вас рассмотреть самостоятельно,— это случай многих электронов, взаимодей­ствующих друг с другом в том же самом центральном поле. Дока­жите теорему для такого случая. Таким образом, каким бы сложным ни был атом, если его поле центральное,— теорема будет верна. Но это уже конец классической механики, ибо то, что система прецессирует таким образом, неверно. Частота пре­цессии w pв уравнении (34.11) только тогда равна w L., когда g=1.

§ 6. В классической физике пет ни диамагнетизма, ни парамагнетизма

Сейчас я хочу показать вам, что в соответствии с классиче­ской механикой не получается ни диамагнетизма, ни парамагне­тизма. На первый взгляд это звучит дико — ведь только что мы доказали, что там есть и диамагнетизм, и парамагнетизм, и прецессирующие орбиты и т. п., а теперь собираемся доказывать, что все это ложь. Увы, так оно и есть! Я собираюсь доказать, что если достаточно долго следовать за классической механи­кой, то никаких магнитных эффектов не получится: они исчезнут все до единого. Если вы начнете с классических рассуждений, но вовремя остановитесь, то получите желаемый результат. И только законные и последовательные доказательства показы­вают, что никаких магнитных эффектов нет.

Вот одно из следствий классической механики. Если у вас есть какая-то заключенная в ящик система, скажем электронный или протонный газ или что-то в этом роде, не способная вращать­ся как нечто целое, то никакого магнитного эффекта возник­нуть не может. Магнитный эффект может получиться лишь при наличии изолированной системы, удерживаемой от разлетания своими собственными силами подобно звезде, которая, будучи помещена в магнитное поле, может начать вращаться. Но если ваш кусок материала удерживается в одном положении и не может начать крутиться, то никакого магнитного эффекта не будет. Более точно мы понимаем под этим следующее: мы пред­полагаем, что при данной температуре существует только одно состояние теплового равновесия. Тогда теорема утверждает, что если вы включите магнитное поле и выждете, пока система не придет в тепловое равновесие, то никакого наведенного маг­нитного эффекта не появится — ни диамагнетизма, ни пара­магнетизма. Доказательство: Согласно статистической меха­нике, вероятность того, что система имеет заданное состояние движения, пропорциональна e - U / kT , где U — энергия этого движения. Но что такое энергия движения? Для частиц в по­стоянном магнитном поле она равна обычной потенциальной энергии плюс mv 2 /2 без какой бы то ни было добавки от маг­нитного поля. [Вы знаете, что сила, действующая со стороны электромагнитного поля, равна q( E+ vX B), а мощность F· v будет просто q E· v, т. е. никакого влияния магнитного поля нет и в помине.] Итак, энергия системы независимо от того, находится ли она в магнитном поле или нет, всегда будет суммой только кинетической и потенциальной энергий. А поскольку вероятность любого движения зависит только от энергии, т. е. от скорости и положения, то для нее безразлично, включено ли магнитное поле или нет. Следовательно, на тепловое равновесие магнитное поле не оказывает никакого влияния. Если мы возь­мем сначала одну систему, заключенную в первом ящике, а затем другую — во втором ящике, но на этот раз в магнитном поле, то вероятность какого-то определенного значения ско­рости в некоторой точке в первом ящике будет той же самой, что и во втором. Если в первом ящике отсутствуют средние цир­кулирующие токи (которых не должно быть, если система нахо­дится в равновесии со стационарными стенками), то там нет никакого магнитного момента. А поскольку все движения во втором ящике такие же, как и в первом, у него тоже нет ника­кого магнитного момента. Следовательно, если температура поддерживается постоянной, то после включения поля и вос­становления теплового равновесия никакого наведенного маг­нитного момента в соответствии с классической механикой быть не должно. Удовлетворительное объяснение магнитных явле­ний можно получить только в квантовой механике.