Feynmann - Feynmann 7

Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k 1. Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k 2 . (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором e ij . В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компо­нентами: е хх , е xy и е yy . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11.

Фиг, 39 . 11. Перемещение ближайших и следующих побли­зости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен. )

Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения u x , u y , выписанные в табл. 39.1.

Таблица 39.1 · КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ u x, u у

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k 2 /2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

Заметьте, что с точностью до первого порядка y-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изме­нение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонталь­ного перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент u х и u v в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами u х и u y . можно получить выра­жение для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U 0 , получаем

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w урав­нением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с од­ним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пру­жинкой, должно приходиться по 1/ 2ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/a 3атомов, то w и U 0 связаны соотношением

w = U 0 /2 a 3 .

2а 3

Чтобы найти упругие постоянные C ijkl , нужно только воз­вести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), приба­вить (39.46) и сравнить коэффициенты при е ij е kl с соответствую­щими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е 2 xx и е 2 yy, мы находим, что множитель при нем равен