Feynmann - Feynmann 6a

Итак, единственное, что мы должны сделать для определения скорости v , — это измерить напряжение между концами про­вода. Хотя для этой цели мы не можем воспользоваться вольт­метром, ибо то же самое поле будет действовать и на провода внутри вольтметра, способы измерения таких полей все же существуют. О некоторых из них мы уже говорили в гл. 9 (вып. 5), когда рассказывали об атмосферном электричестве. Так что измерить скорость самолета, казалось бы, можно.

Однако эта важная проблема не была решена таким методом. Дело в том, что величина электрического поля, которое при этом развивается,— порядка нескольких милливольт на метр. Измерить такие поля, конечно, можно, но вся беда в том, что они ничем не отличаются от любых других электрических полей. Поля, создаваемые движением через магнитное поле, нельзя отличить от электрических полей, возникающих в воздухе по каким-то другим причинам (скажем, от электростатических зарядов в воздухе или на облаках). В гл. 9 мы говорили, что обычно над поверхностью Земли существуют электрические поля с напряженностью около 100 в/м, но они совершенно нере­гулярные. Так что самолет во время полета будет наблюдать флуктуации атмосферных электрических полей, которые огром­ны по сравнению со слабенькими полями, возникающими из-за множителя vXB. Ввиду этих чисто практических причин изме­рить скорость самолета, используя его движение в магнитном поле Земли, невозможно.

§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях

Полученные из уравнений Максвелла электрические и маг­нитные поля сами по себе не представляют особой ценности, если мы не знаем, что эти поля могут делать, на что они способны.

Вы, вероятно, помните, что поля нужны для нахождения действующих на заряды сил и что именно эти силы определяют их движение. Так что связь движения зарядов с силами, разу­меется, тоже есть часть электродинамики.

На отдельный заряд, находящийся в полях Е и В, действует

(26.23)

При небольших скоростях эта сила равна произведению массы на ускорение, но истинный закон, справедливый при любых скоростях, гласит: сила равна dp / dt . Подставляя p = m 0 v / Ц (1- v 2/c 2), находим релятивистское уравнение движения заряда:

(26.24)

Теперь мы хотим обсудить это уравнение с точки зрения тео­рии относительности. Поскольку уравнения Максвелла запи­саны у нас в релятивистской форме, интересно посмотреть, как в релятивистской же форме выглядят уравнения движения. Посмотрим, можно ли переписать уравнения движения в четы­рехмерных обозначениях.

Мы знаем, что импульс есть часть четырехмерного вектора p mс энергией m 0/Ц(1- v 2/с 2) в качестве временной компоненты, так что мы надеемся заменить левую часть уравнения (26.24) на dp m / dt . Теперь нам нужно найти только четвертую компоненту силы F. Эта компонента должна быть равна скорости изменения энергии или скорости совершения работы, т. е. F·v. Так что правую часть уравнения (26.24) желательно было бы записать в виде четырехвектора типа (F·v, F x , F y , F z ), Однако эти вели­чины не составляют четырехвектора.

Производная четырехвектора по времени не будет больше четырехвектором, так как d / dt требует для измерения t неко­торой специальной системы отсчета. С этой трудностью мы уже сталкивались раньше, когда пытались сделать четырехвектор из скорости v. Тогда мы попытались считать, что роль временной компоненты скорости играет cdt / dt = c . Но на самом деле величины

(26.25)

не образуют четырехвектора. После этого мы обнаружили, что их можно превратить в компоненты четырехвектора, если помножить каждую на 1

/Ц(1-v 2 /с 2 ) . «Четырехмерной ско­ростью» u m оказался вектор

(26.26)

Вот в чем фокус! Нужно умножать производную d / dt на 1/ Ц (1- v 2/с 2), если мы хотим превратить ее компоненту в четырехвектор.