Feynmann - Feynmann 6a

§ 3. Релятивистское преобразование полей

В предыдущем параграфе мы вычисляли электрическое и маг­нитное поля, исходя из трансформационных свойств потенциа­лов. Но, несмотря на приведенные ранее аргументы в пользу физического смысла и реальности потенциалов, поля все же важ­нее. Они тоже реальны, и для многих задач было бы удобно иметь способ вычисления полей в движущейся системе, если поля в некоторой «покоящейся» системе уже известны. Мы име­ем законы преобразования для j и А, поскольку А m представляет собой четырехвектор. Теперь нам хотелось бы найти законы преобразования Е и В. Пусть мы знаем векторы Е и В в одной системе отсчета. Как же они выглядят в другой системе, движущейся относительно первой? Здесь-то нам и понадобятся преобразования. Конечно, мы всегда можем сделать это через потенциал, но иногда удобно уметь преобразовывать поля непосредственно. Сейчас мы увидим, как это делается.

Как можно найти закон преобразования полей? Нам изве­стны законы преобразования j и А, и мы знаем, как выражаются поля через j и А, так что отсюда нетрудно найти преобра­зования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, напри­мер, с вектором Е можно связать некую величину, которая сде­лает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно СXА. Теперь мы знаем, что х -, у- и z -компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и t-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора С наряду с производными по х, у и z есть также производная по t . Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы произведем замену у на t , или z на t , или еще что-нибудь в этом духе.

Прежде всего обратите внимание на форму слагаемых, об­разующих компоненты В:

В слагаемые, образующие x-компоненту В, входят только z - и y-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комби­нацию производных и компонент «zy-штукой», или сокращенно F zy . Мы просто имеем в виду, что

(26.15)

Подобной же «штуке» равна и компонента В, но на сей раз это будет «xz-штука», а В z , разумеется, равна «yx-штуке». Таким образом,

(26.16)

Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа « t », т. е. F xt или F tz (ведь природа дол­жна быть красива и симметрична по х, у, z и t ). Что такое, например, F tz ? Разумеется, она равна

Но вспомните, ведь A t = j , поэтому предыдущее выражение равно

Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти z-компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте произ­водная по t идет со знаком, противоположным производным по х, у и z . Так что на самом деле нам следует взять более умное обобщение, т. е. считать

(26.17)

Теперь она в точности равна — Е г . Так же можно построить F tx и F tv и получить три выражения:

А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа

т. е. просто нуль.

Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ни­чего нового, ибо

F xy = - F yx

и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комбина­ций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые представляют компоненты В и Е.