Feynmann - Feynmann 5b

Как же найти электрическое поле, у которого нет составляю­щей, перпендикулярной к поверхности? Иначе говоря, такое поле, которое всюду касательно к поверхности? Вы заметите, что эта задача обратна задаче о точечном заряде вблизи прово­дящей плоскости. Там нам нужно было поле, перпендикулярное

к поверхности, потому что проводник всюду находился при одном и том же значении потенциала.

В задаче об электрическом поле мы придумали решение, вообразив за проводящей плоскостью точечный заряд. Можно воспользоваться снова этой же идеей. Попытаемся выбрать такое «изображение» источника, которое автоматически обраща­ло бы в нуль нормальную компоненту поля вблизи поверхности. Решение показано на фиг. 12.2. Электрическое изображение источника с тем же знаком и той же величины, находящееся на расстоянии а над поверхностью, дает поле, горизонтальное повсюду у поверхности. Нормальные компоненты от обоих ис­точников взаимно уничтожаются.

Итак, наша задача о потоке тепла решена. Температура во всем пространстве одинакова по непосредственной аналогии с потенциалом от двух одинаковых точечных зарядов. Темпера­тура Т на расстоянии r от одного точечного источника G в бес­конечной среде равна

(12.13)

(Это, конечно, полностью аналогично j= q/4pe 0r.) Температура точечного источника и, кроме того, его изображения равна

(12.14)

Эта формула дает нам температуру всюду внутри блока. Несколько изотермических поверхностей приведено на фиг. 12.2.

Показаны также линии h, ко­торые можно получить из вы­ражения h =-КСТ .

В самом начале мы инте­ресовались распределением температуры на поверхности. Для точки на поверхности находящейся на расстоянии р от оси, r 1=r 2=Ц (р 2+ а 2),

Фиг. 12.2. Поток тепла и изотерма у точечного источника тепла, расположенного на расстоя­нии а под поверхностью тела с хорошей теплопроводностью. Вне тела показано мнимое изображение источника.

сле­довательно,

(12.15)

Эта функция также изображена на фиг. 12.2. Естественно, что температура прямо над источником выше, чем вдали от него. Такого рода задачи часто приходится решать геофизикам. Теперь мы видим, что это те же самые задачи, которые мы ре­шали в электричестве.

§ 3. Натянутая мембрана

Рассмотрим теперь совсем другую область физики, в которой тем не менее мы придем снова к точно таким же уравнениям. Возьмем тонкую резиновую пленку — мембрану, натянутую на большую горизонтальную раму (наподобие кожи на бараба­не). Нажмем на мембрану в одном месте вверх, а в другом — вниз (фиг. 12.3). Сможем ли мы описать форму поверхности? Покажем, как можно решить эту задачу, когда отклонения мембраны не очень велики.

В пленке действуют силы, потому что она натянута. Если сделать в каком-нибудь месте пленки небольшой разрез, то два края разреза разойдутся (фиг. 12.4). Следовательно, в пленке имеется поверхностное натяжение, аналогичное одномерному натяжению растянутой веревки. Определим величину поверх­ностного натяжения t как силу на единицу длины, которая как раз удержала бы вместе две стороны разреза (см. фиг. 12.4).

Предположим теперь, что мы смотрим на вертикальное по­перечное сечение мембраны. Оно будет иметь вид некоторой кривой, похожей на изображенную на фиг. 12.5. Пусть и — вертикальное смещение мембраны от ее нормального положения, а х и у — координаты в горизонтальной плоскости

Фиг. 12.3. Тонкая резино­вая пленка, натянутая на цилиндр (нечто вроде ба­рабана).

Какой формы будет поверх­ность, если пленку приподнять в точке A и опустить в точке В?

Фиг. 12.4. Поверхностное натяжение t натянутой, резиновой пленки есть сила отнесенная к единице дли­ны и направленная перпен­дикулярно линии разреза.

(Приведенное сечение параллельно оси х.)