Feynmann - Feynmann 5b

Как надо решать такую задачу? У нас есть дифференциаль­ные уравнения, но поскольку они такие же, как в электроста­тике, то математическое решение их нам уже известно. Анало­гичная задача электростатики относится к проводнику радиу­сом а при потенциале j 1, отделенном от другого проводника радиусом b при потенциале j 2, с концентрическим слоем ди­электрика между ними (фиг. 12.1, б). Далее, поскольку поток тепла h соответствует электрическому полю Е, то наша искомая величина G соответствует потоку электрического поля от единичной длины (другими словами, электрическому заряду на единице длины, деленному на e 0). Мы решали электростати­ческую задачу с помощью закона Гаусса. Нашу задачу о потоке тепла будем решать таким же способом.

Из симметрии задачи мы видим, что h зависит только от расстояния до центра. Поэтому мы окружим трубку гауссовой поверхностью — цилиндром длиной L и радиусом r . С помощью закона Гаусса мы выводим, что поток тепла h, умноженный на площадь поверхности 2prL, должен быть равен полному количеству тепла, рождаемому внутри, т. е. тому, что мы назвали G :

(12.9)

Поток тепла пропорционален градиенту температуры

или в данном случае величина h равна

Вместе с (12.9) это дает

(12.10)

Интегрируя от r=а до r = b , получаем

(12.11)

Разрешая отнсительно G , находим

(12.12)

Этот результат в точности соответствует формуле для заряда цилиндрического конденсатора:

Задачи одинаковые и имеют одинаковые решения. Зная электро­статику, мы тем самым знаем, сколько тепла теряет изолирован­ная труба.

Рассмотрим еще один пример. Пусть мы хотим узнать поток тепла в окрестности точечного источника, расположенного неглубоко под поверхностью земли или же вблизи поверхности большого металлического предмета. В качестве локализованно­го источника тепла может быть и атомная бомба, которая взор­валась под землей и представляет собой мощный источник тепла, или же небольшой источник радиоактивности внутри железного блока — возможностей очень много.

Рассмотрим идеализированную задачу о точечном источнике тепла, мощность которого G , на расстоянии а под поверхностью бесконечной однородной среды с коэффициентом теплопровод­ности К. Теплопроводностью воздуха над поверхностью среды мы пренебрежем. Мы хотим определить распределение темпе­ратуры на поверхности среды. Насколько горячо будет прямо над источником и в разных местах на поверхности?

Как же решить эту задачу? Она похожа на задачу по электро­статике, в которой имеются два материала с разной диэлектри­ческой проницаемостью x по обе стороны от разделяющей их границы. Здесь что-то есть! Возможно, это похоже на точечный заряд вблизи границы между диэлектриком и проводником или что-нибудь вроде этого. Посмотрим, что происходит вблизи границы. Физическое условие состоит в том, что нормальная составляющая h на поверхности равна нулю, поскольку мы предположили, что потока из блока нет. Мы должны задать вопрос: в какой электростатической задаче возникает условие, что нормальная компонента электрического поля Е (представ­ляющая собой аналог h) равна нулю у поверхности? Нет такой!

Это один из тех случаев, к которым следует относиться с осторожностью. По физическим причинам могут быть опре­деленные ограничения тех математических условий, которые возникают в каком-либо случае. Поэтому если мы проанализи­ровали дифференциальное уравнение только для некоторых ограниченных примеров, то вполне можем упустить ряд реше­ний, возникающих в других физических условиях. Например, нет материала, обладающего диэлектрической проницаемостью, равной нулю, а теплопроводность вакуума равна нулю. Поэтому нет электростатического аналога идеального теплоизолятора. Мы можем, однако, попытаться использовать те же методы. Попробуем вообразить, что произошло бы, если бы диэлектри­ческая проницаемость была равна нулю. (Разумеется, в реаль­ных условиях диэлектрическая проницаемость никогда не обра­щается в нуль. Но может представиться случай, когда вещество имеет очень большую диэлектрическую проницаемость, так что диэлектрической проницаемостью воздуха вне среды можно пренебречь.)