Feynmann - Feynmann 5b

Ранее мы уже обсуждали (гл. 3, § 4) поток тепла. Вообразите кусок какого-то материала, необязательно однородного (в раз­ных местах может быть разное вещество), в котором темпера­тура меняется от точки к точке. Как следствие этих температур­ных изменений возникает поток тепла, который можно обозна­чить вектором h. Он представляет собой количество тепловой энергии, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку. Дивергенция h есть скорость ухода тепла из данного места в расчете на единицу объема:

С·h = Скорость ухода тепла на единицу объема.

(Мы могли, конечно, записать уравнение в интегральном виде, как мы поступали в электродинамике с законом Гаусса, тогда оно выражало бы тот факт, что поток через поверхность равен скорости изменения тепловой энергии внутри материала. Мы не будем больше переводить уравнения из дифференциальной формы в интегральную и обратно, это делается точно так же, как в электростатике.)

Скорость, с которой тепло поглощается или рождается в разных местах, конечно, зависит от условий задачи. Предпо­ложим, например, что источник тепла находится внутри мате­риала (возможно, радиоактивный источник или сопротивление, через которое пропускают ток). Обозначим через s тепловую энергию, производимую этим источником в единице объема за 1 сек. Кроме того, могут возникнуть потери (или, наоборот, дополнительное рождение) тепловой энергии за счет перехода в другие виды внутренней энергии в данном объеме. Если и — внутренняя энергия в единице объема, то — du / dt будет тоже играть роль «источника» тепловой энергии. Итак, имеем

(12.5)

Мы не собираемся здесь обсуждать полное уравнение, ве­личины в котором изменяются со временем, потому что мы про­водим аналогию с электростатикой, где ничто не зависит от вре­мени. Мы рассмотрим только задачи с постоянным потоком тепла, в которых постоянные источники создают состояние равновесия. В таких случаях

(12.6)

Нужно иметь, конечно, еще одно уравнение, которое описы­вает, как поток течет в разных местах. Во многих веществах поток тепла примерно пропорционален скорости изменения температуры с положением: чем больше разность температур, тем больше поток тепла. Мы знаем, что вектор потока тепла пропорционален градиенту температуры. Константа пропор­циональности К, зависящая от свойств материала, называется коэффициентом теплопроводности

(12.7)

Если свойства материала меняются от точки к точке, то К=К (х, у, z) и есть функция положения. [Уравнение (12.7) не столь фундаментально, как (12.5), выражающее сохранение тепловой энергии, потому что оно зависит от характерных свойств вещества.] Подставляя теперь уравнение (12.7) в (12.6), получаем

(12.8)

что в точности совпадает по форме с (12.4). Задачи с постоянным потоком тепла и задачи электростатики одинаковы. Вектор потока тепла h соответствует Е, а тем­пература Т соответствует j.

Фиг. 12.1. Поток тепла в случае цилиндрической симметрии (а) и соответствующая задача из элек­тричества (б).

Мы уже отмечали, что точечный тепловой источник создает поле температур, меняющееся, как 1/r, и поток тепла, меняющийся, как 1/r 2. Это есть не более чем простой перенос утвержде­ний электростатики, что точечный заряд дает потенциал, меняющийся, как 1/r, и электрическое поле, меня­ющееся, как 1/r 2. Вообще мы можем решать статистические тепловые за­дачи с той же степенью легкости, как и задачи электростатики.

Рассмотрим простой пример. Пусть имеется цилиндр с ра­диусом а при температуре T 1?поддерживающейся за счет гене­рации тепла в цилиндре. (Это может быть, скажем, проволока, по которой течет ток, или трубка с конденсацией пара внутри цилиндра.) Цилиндр покрыт концентрической обшивкой из изолирующего материала с теплопроводностью К. Пусть внеш­ний радиус изоляции равен b , а в наружном пространстве под­держивается температура T 2 (фиг. 12. 1, а). Нам нужно опреде­лить скорость потери тепла проволокой или паропроводом (все равно чем), проходящим по центру цилиндра. Пусть полное количество тепла, теряемого на длине трубы L , равно G, его-то мы и хотим найти.