Feynmann - Feynmann 4

Итак, если два газа имеют одинаковую температуру, то средние кинетические энергии молекул этих газов в системе центра масс равны.

Средняя кинетическая энергия молекул — это свойство только «температуры». А будучи свойством «температуры», а не газа, она может служить определением температуры. Средняя кинетическая энергия молекулы, таким образом, есть некото­рая функция температуры. Но кто нам подскажет, по какой шкале отсчитывать температуру? Мы можем сами определить шкалу температуры так, что средняя энергия будет пропор­циональна температуре. Лучше всего для этого назвать «тем­пературой» саму среднюю энергию. Это была бы самая простая функция, но, к несчастью, эту шкалу уже выбрали иначе и вместо того, чтобы назвать энергию молекулы просто «темпе­ратурой», используют постоянный множитель, связывающий среднюю энергию молекулы и градус абсолютной температу­ры, или градус Кельвина. Этот множитель: k = 1,38·10 -2 3 дж на каждый градус Кельвина. Таким образом, если абсо­лютная температура газа равна Т, то средняя кинетическая энергия молекулы равна 3/ 2 kT (множитель 3/ 2введен только для удобства, благодаря чему исчезнут множители в других формулах).

Заметим, что кинетическая энергия, связанная с состав­ляющей движения в любом направлении, равна только 1/ 2k Т. Три независимых направления движения доводят ее до 3/ 2 kT .

§ 5 . Закон идеального газа

Теперь можно подставить наше определение температуры в уравнение (39.9) и найти закон зависимости давления газа от температуры: произведение давления на объем равно про­изведению полного числа атомов на универсальную постоян­ную k и температуру:

PV = NkT . (39.22)

Следовательно, при одинаковых температуре, давлении и объеме число атомов строго определено — это тоже универ­сальная постоянная! Таким образом, из законов Ньютона следует, что в равных объемах любых газов при одинаковых температуре и давлении содержится равное число молекул. Вот какой неожиданный вывод!

На практике, когда имеешь дело с молекулами, приходится оперировать большими числами, поэтому химики произвольно выбрали число, очень большое число, и придумали ему специ­альное название. Они назвали его моль. Моль — это очень искусственное число. Почему химики не приняли за единицу 10 24, чтобы вышло круглое число,— это вопрос исторический.

Случилось так, что они для удобства выбрали стандарт­ное число N 0=6,02·10 23объектов и назвали это число молем объектов. После этого, вместо того чтобы измерять число молекул в штуках, они измеряют их в молях. Можно написать число молей (выражая их через N 0 ) и умножить его на число атомов в моле, потом умножить на kT , а затем, если захотим, выделить произведение числа атомов в моле на k, тогда получит­ся молярное значение k; для этой величины выделим особую букву R . Молярное значение k равно 8,317 дж: R = N 0 k = 8,317 дж/молъ· °К -1. Таким образом мы нашли газовый закон, выраженный в виде произведения числа молей (его обозначают буквой N ) на RT , или в виде произведения числа атомов на kT :

PV = NRT . (39.23)

Смысл тот же самый, только единицы измерения разные. В качестве единицы мы используем 1, а химики используют 6·10 23!

Сделаем еще одно замечание по поводу газового закона; оно касается вещей более сложных, чем одноатомные молекулы. Пока мы имели дело только с движением одноатомного газа в центре масс. А что если при этом учесть действие сил? Рас­смотрим сначала случай, когда поршень удерживается гори­зонтально расположенной пружинкой, на которую действует сила. Взаимная встряска атомов и поршня в каждый данный момент, конечно, не зависит от положения поршня. Условия равновесия остаются прежними. Независимо от того, где на­ходится поршень, от него требуется только, чтобы скорость его движения была такой, чтобы он получал от молекул столь­ко же энергии, сколько отдавал им. Наличие пружинки не меняет дела. Скорость, с которой движется поршень, в среднем та же. Таким образом, наша теорема о том, что средняя кине­тическая энергия в одном направлении равна 1 / 2 kT , справед­лива независимо от того, есть силы или их нет.

Рассмотрим, например, двухатомную молекулу, состав­ленную из атомов с массами m А и m B . Нам удалось доказать, что движение в центре масс части А и части В таково, что < 1/ 2m Av 2 A>=< 1/ 2m Bv 2 B> = 3 / 2 kT . Но как это может быть, если от­дельные части связаны друг с другом? Хотя они и связаны меж­ду собой, но обмен энергией при взаимных вращениях, изме­нении расстояния и соударениях с другими молекулами за­висит только от того, как быстро они движутся. Только этим определяется обмен энергией при соударениях. Сила в каждый отдельный момент не имеет никакого значения. Следовательно, даже если между отдельными частями молекулы действуют силы, верен тот же принцип.