Feynmann - Feynmann 4

Докажем, наконец, что газовый закон справедлив и в том случае, когда внутреннее движение не учитывается. До сих пор нам не надо было включать внутреннее движение. Мы просто рассматривали одноатомный газ. Но теперь мы покажем, что скорость центра масс любого объекта, который можно рассматривать как тело массы М, равна

1 / 2 Mv 2 ц..м. = 3 / 2 kT . (39.24)

Иначе говоря, можно рассматривать как отдельные части, так и всю молекулу в целом! Посмотрим, почему это можно делать: масса двухатомной молекулы равна М =m А + m B , а скорость центра масс равна v ц.м. =( m A v A + m B v B )/ M . Нам нужно теперь определить 2 ц.м.>. Если возвести в квадрат v ц . м ., то получится

Умножив это на 1 I 2 M и усреднив, получим

[Мы воспользовались тем, что (m A+m B) /М= 1.] А чему равно A·v B>? (Хорошо бы, чтобы это было равно нулю!) Чтобы найти это среднее, используем наше предположение, что относитель­ная скорость w=v A-v bне предпочитает какое-то одно опреде­ленное направление остальным, т. е. средняя составляющая вдоль любого направления равна нулю. Мы предполагаем, следовательно, что

< w· v ц.м.>=0.

Но что такое w· v ц.м.? Это скалярное произведение, равное

Далее, поскольку <, m A v 2 A >= Bv 2 B>, то первый и последний члены взаимно уничтожаются, и мы получаем

( m B - m A)A·v B>=0.

Итак, если m А № m B , то a·v в>=0, а это означает, что жест­кому движению всей молекулы, рассматриваемой как одна частица массы М, соответствует средняя кинетическая энергия, равная 3/ 2kT.

Одновременно мы доказали, что средняя кинетическая энергия внутреннего движения двухатомной молекулы, если не учитывать движения центра масс, равна 3/ 2kT! Ведь полная кинетическая энергия отдельных частей молекулы равна 1/ 2m Av 2 A+ 1/ 2m Bv 2 B , а среднее ее значение — это 3/ 2kT+ 3/ 2kT, или 3kT. Кинетическая энергия движения центра масс равна 3 / 2 kT , так что средняя кинетическая энергия вращательного и колебательного движений двух атомов внутри молекулы — это разность этих величин, 3 / z kT .

Теорема о средней энергии центра масс — это весьма общая теорема: для каждого объекта, рассматриваемого как единое целое, независимо от того, действуют на этот объект силы или нет, средняя кинетическая энергия каждого независимого движения равна 1 l 2 kT . Эти «независимые направления дви­жения» иногда называют степенями свободы системы. Число степеней свободы молекулы, составленной из r атомов, равно 3r, потому что для определения положения каждого атома нужны три координаты. Полную кинетическую энергию мо­лекулы можно представить либо как сумму кинетических энер­гий отдельных атомов, либо как сумму кинетической энергии движения Центра масс и кинетической энергии внутренних движений. Последнюю иногда можно представить как сумму кинетической энергии вращений и кинетической энергии ко­лебаний, но это можно сделать только приближенно. Наша тео­рема, если применить ее к r-атомной молекуле, гласит, что средняя кинетическая энергия молекулы равна 3/ 2rkT дж, из которых 3/ 2 kT — кинетическая энергия движения молекулы как целого, а остаток 3/ 2(r-1 ) kT — это внутренняя кинети­ческая энергия вращений и колебаний.

* Стоградусная шкала— это шкала Кельвина, в которой за нуль при­нята температура 273,16°, так что T =273,16 + стоградусная температура.

** То, что химики называют молекулярным весом, есть не что иное, как масса моля молекул в граммах. Моль определяется так, что масса моля атомов изотопа углерода 12 (ядра которого состоят из 6 протонов и 6 нейтронов) равна в точности 12 г.

* Этот аргумент, который приводил еще Максвелл, несколько ко­варен. Хотя окончательный вывод и справедлив, но он не следует непо­средственно из соображений симметрии, которыми мы пользовались раньше. Ведь перейдя к движущейся через газ системе отсчета, мы можем обнаружить искаженное распределение скоростей. Мы не смогли найти простого доказательства этого результата.