Feynmann - Feynmann 4

Поскольку объем ящика не изменяется, можно заменить (дP/дT) V на dP / dT и получить обыкновенное дифференциальное уравне­ние. Оно легко интегрируется и дает lnP = 4 lnT +const, или Р = const·T 4. Давление излучения изменяется как четвертая степень температуры, поэтому заключенная в излучении энер­гия U / V = P /3 тоже меняется как T 4. Обычно пишут так: U/V=(4s/с)T 4, где с — скорость света, а s— другая посто­янная. Термодинамика сама по себе ничего не скажет нам об этой постоянной. Это хороший пример и ее могущества, и ее бес­силия. Знать, что U / V изменяется как T 4, — это уже большое дело, но узнать, чему именно равно U / V при той или иной тем­пературе, можно, только разобравшись в деталях полной тео­рии. У нас есть теория излучения черного тела и сейчас мы вы­числим а.

Пусть I (w)dw — распределение интенсивности, иначе говоря, поток энергии через 1 м 2 за 1 сек в интервале частот между w и w+dw:

Распределение плотности энергии =

поэтому

U/V=Полная плотность энергии,

(Плотность энергии между w и w+dw),

Мы уже успели узнать, что

Подставляя выражение для I (w) в наше уравнение для U / V , получаем

Если сделать замену переменных x = h w / kT , то это выраже­ние примет вид

Этот интеграл — просто-напросто какое-то число, и мы можем найти его приближенно. Для этого надо лишь вычертить подын­тегральную кривую и подсчитать площадь под ней. Она прибли­зительно равна 6,5. Математики могут вычислить наш интеграл точно, он равен p 4/15. Сравнивая это выражение с записан­ным ранее U/V=(4s/с)T 4, мы найдем s:

Много ли энергии утечет за 1 сек из дырки единичной пло­щади, проделанной в стенке ящика? Чтобы найти поток энер­гии, умножим плотность энергии U / V на с. Еще нужно умножить на 1/ 4; эта четверть набегает вот по каким причинам. Во-первых, l / 2 появляется из-за того, что мы вычисляем только вырвавшу­юся наружу энергию, и, во-вторых, если поток подходит к дыр­ке не под прямым углом, то вырваться ему труднее; это умень­шение эффективности учитывается умножением на косинус угла с нормалью. Среднее значение косинуса равно 1/ 2. Теперь понятно, почему мы писали U / V =(4 s / c ) T 4 : так проще выразить поток энергии сквозь маленькую дырку; если отнести поток к единичной площади, то он равен просто sT 4.

* Поскольку ( e x -1) -1 =е - x + е -2 x +..., то интеграл равен

Но , поэтому, дифференцируя три раза по n , мы получаем

, так что интеграл равен 6 (1+ 1 / 16 + 1 / 81 + ...), и несколько первых членов ряда дают уже хорошее приближение. В гл. 50 мы сможем показать, что сумма обратных четвертых степеней целых чисел равна p 5 /90.