Feynmann - Feynmann 4

Сравнивая два выражения для работы, мы получаем L(DT/T)= DP(V G-V L), или

Уравнение (45.14) связывает скорость изменения давления пара с температурой и количеством тепла, необходимым для испа­рения жидкости. Хотя вывел его Карно, называется оно урав­нением Клаузиуса — Клайперона.

Сравним уравнение (45.14) с результатом, следующим из ки­нетической теории. Обычно V Gгораздо больше V L . Поэтому V G - V L » V G = RT / P на моль. Если еще предположить, что L — не зависящая от температуры постоянная (хотя это не очень хорошее приближение), то мы получим dP /8 T = L /( RT 2 P ). Вот решение этого дифференциального уравнения:

P=const· e - L / RT . (45.15)

Надо выяснить, в каких отношениях находится это выраже­ние с полученной ранее с помощью кинетической теории за­висимостью давления от температуры. Кинетическая теория говорит, хотя и очень неопределенно, что число молекул пара над жидкостью примерно равно

где U G — U L — разность отнесенных к молю внутренних энергий газа и жидкости. Термодинамическое уравнение (45.15) и кине­тическое уравнение (45.16) очень похожи, потому что давление равно nkT , но все-таки это разные уравнения. Однако их можно сделать одинаковыми, если заменить старое предположение L=const предположением о том, что L—U G=const. Если предположить, что L— U G — не зависящая от температуры постоянная, то соображения, из которых ранее следовало (45.15), при­ведут теперь к уравнению (45.16).

Это сравнение показывает преимущества и недостатки тер­модинамики по сравнению с кинетической теорией. Прежде всего полученное термодинамически уравнение (45.14) — это точное соотношение, а (45.16) — всего-навсего приближение. Ведь нам пришлось предположить, что U приблизительно постоянна и что наша модель верна. Во-вторых, нам, быть мо­жет, никогда не удастся понять до конца, как газ переходит в жидкость, и все-таки уравнение (45.14) правильно, а (45.16)— это только приближение. В-третьих, хотя мы говорили о прев­ращении газа в жидкость, наши аргументы верны для любого перехода из одного состояния в другое. Например, переход твердое тело — жидкость описывается кривыми, очень похо­жими на кривые фиг. 45.3 и 45.4.

Фиг. 45.4. Диаграмма Р — V для цикла Карно с конденсирующимся в цилиндре паром.

Слева — все вещество переходит в жидкость. Чтобы полностью испарить ее при температуре Т, нужно добавить тепла L . При падении температуры от Т до Т— D T пар расширяется адиаба­тически.

Вводя скрытую теплоту плав­ления М/моль, мы получим формулу, аналогичную уравне­нию (45.14): ( д P пл / д T ) V = M /[ T ( V L - V S )]. Мы можем не знать ничего о кинетической теории процесса плавления, а все же получить правильное уравнение. Однако если мы узнаем кинетическую теорию, то сразу же получим большое пре­имущество. Уравнение (45.14) — это всего лишь дифферен­циальное уравнение, и мы еще совершенно не умеем находить постоянные интегрирования. В кинетической теории можно вычислить и эти постоянные, надо только придумать хорошую модель, описывающую все явление полностью. Итак, в каждой теории есть и хорошее, и плохое. Если познания наши слабы, а картина сложна, то термодинамические соотношения ока­зываются самым мощным средством. Когда же картина упро­щается настолько, что можно ее проанализировать теоретиче­ски, то лучше сначала попробовать выжать из этого анализа как можно больше.

Еще один пример: излучение черного тела. Мы уже гово­рили об ящике, содержащем излучение и ничего больше, и уже толковали о равновесии между излучением и осциллятором.

Мы выяснили также, что когда фотоны ударяются о стенки ящи­ка, они создают давление Р. Мы вывели формулу PV=U/3, где U — полная энергия фотонов, а V — объем ящика. Если под­ставить U=3РV в основное уравнение (45.7),то обнаружится, что