Feynmann - Feynmann 4

Глава 4 0

ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

§. 1. Экспонен­циальная атмосфера

§ 2. Закон Больцмана

§ 3. Испарение жидкости

§ 4. Распределение молекул по скоростям

§ 5. Удельные теплоемкости газов

§ 6. Поражение классической физики

§ 1. Экспоненциальная атмосфера

Мы уже изучали некоторые свойства боль­шого числа сталкивающихся атомов. Наука, которая занимается этим, называется кине­тической теорией, и она описывает свойства вещества, рассматривая, как сталкиваются атомы. Мы утверждаем, что все свойства веще­ства в целом можно объяснить, рассматривая движение отдельных его частей.

Пока мы ограничимся случаем теплового равновесия, т. е. всего лишь подклассом всех явлений природы. Законы механики, приме­няемые в условиях теплового равновесия, по­лучили название статистической механики, и в этой главе вы немного познакомитесь с не­которыми основными теоремами этой науки.

Одна теорема статистической механики вам уже известна. Согласно этой теореме, для любого движения при абсолютной темпера­туре Т средняя кинетическая энергия каждого независимого движения (каждой степени сво­боды) равна 1 / 2 kT . После этого нам становится кое-что известно о среднем квадрате скорости атомов. Теперь нам необходимо узнать чуть побольше о координатах атомов, чтобы выяс­нить, много ли их находится при тепловом равновесии в той или иной точке пространства, а также немного подробнее изучить распре­деление атомов по скоростям. Хотя мы зна­ем, чему равен средний квадрат скорости, мы все же не можем ответить на вопрос, сколько атомов обладают скоростью, в три раза боль­шей, чем корень из среднего квадрата скорости, или скоростью, равной одной четверти корня из среднего квадрата скорости. А вдруг все атомы имеют одинаковую скорость?

Итак, вот два вопроса, на которые мы попытаемся дать ответ: 1) Как атомы располагаются в пространстве, когда на них действуют силы? 2) Каково распределение атомов по ско­ростям?

Заметим, что это два совершенно независимых вопроса и что распределение по скоростям всегда одинаково. Этого можно было ожидать после того, как мы выяснили, что средняя кине­тическая энергия степени свободы всегда равна 1/ 2 kT , незави­симо от того, какие силы действуют на молекулы. Распределе­ние по скоростям молекул не зависит от сил, потому что силы не влияют на частоту столкновений.

Давайте начнем с примера распределения молекул в атмос­фере, подобной той, в которой мы живем, но без ветра или дру­гих каких-либо возмущений.

Предположим, что мы имеем дело с довольно высоким стол­бом газа, находящегося в тепловом равновесии (не так, как в настоящей атмосфере; в ней, как известно, по мере подъема вверх становится холоднее). Укажем здесь, что нарушение равновесия в случае разницы температур на разных высо­тах можно продемонстрировать, поместив в столб газа металли­ческий стержень так, что его концы соприкасаются с малень­кими шариками (фиг. 40.1).

Фиг. 40. 1. Равновесие в атмос­фере с постоянной температурой.

Давление на высоте h должно превосхо­дить давление на высоте h + dh на вес заключенного между этими уровнями газа. Стержень и шарики выравнивают температуру .

Нижние шарики, получая от мо­лекул газа энергию l / 2 kT , передают ее через стержень верхним шарикам и встряхивают их; верхние шарики в свою очередь будут встряхивать соприкасающиеся с ними наверху молекулы. В конце концов, конечно, температура на разных высотах гра­витационного поля станет одинаковой.

Нам предстоит найти закон, по которому происходит раз­режение атмосферы по мере подъема вверх, когда температура на всех высотах одинакова. Если N — полное число молекул в объеме V газа с давлением Р, то PV = NkT , или Р = nkT , где n — число молекул в единичном объеме. Иначе говоря, если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот: давление и плотность пропорциональ­ны друг другу, ведь температура в нашем случае постоянна. Но давление не может быть постоянным: с уменьшением высоты оно должно возрастать, потому что нижнему слою приходится, так сказать, выдерживать вес всех расположенных сверху ато­мов. Теперь можно определить, как давление меняется с высо­той. Если на высоте h выделить площадку единичной площади, то на эту площадку снизу будет действовать сила, равная давле­нию Р. Если бы не было силы тяжести, то на площадку на вы­соте h + dh действовала бы сверху вниз точно такая же сила. Но в нашем случае это не так: действующая снизу сила должна превосходить силу, действующую сверху, на величину, равную весу газа, заключенного между слоями h и h + dh . На каждую молекулу действует сила тяжести mg , где g — ускорение силы тяжести. В интересующем нас слое находится ndh молекул. Это приводит к такому дифференциальному уравнению: P h + dh - P h = dP =- mgndh . Поскольку Р = nkT , а Т— посто­янная, то можно избавиться или от Р, или от n . Исключим из уравнений Р; тогда получим