Unknown - haskell-notes

f >>g =\x ->g (f x)

Мы будем изображать функции кружками, а значения – стрелками (рис. 6.1). Значения словно текут от

узла к узлу по стрелкам. Поскольку тип стрелки выходящей из f совпадает с типом стрелки входящей в g мы

можем соединить их и получить составную функцию (f >>g).

a

f

b

b

g

c

b

a

g

f

c

a

f>>g

c

Рис. 6.1: Композиция функций

86 | Глава 6: Функторы и монады: теория

Класс Category

С помощью операции композиции можно обобщить понятие функции. Для этого существует класс

Category:

class Categorycat where

id

::cat a a

( >>) ::cat a b ->cat b c ->cat a c

Функция cat это тип с двумя параметрами, в котором выделено специальное значение id, которое остав-

ляет аргумент без изменений. Также мы можем составлять из простых функций сложные с помощью компо-

зиции, если функции совпадают по типу. Здесь мы для наглядности также заменили метод ( .) на ( >>), но

суть остаётся прежней. Для любого экземпляра класса должны выполняться свойства:

f

>>id

==f

id >>f

==f

f >>(g >>h) ==(f >>g) >>h

Первые два свойства говорят о том, что id является нейтральным элементом для ( >>) слева и справа.

Третье свойство говорит о том, что нам не важно в каком порядке проводить композицию. Можно проверить,

что эти правила выполнены для функций.

Специальные функции

Все специальные функции, которые мы рассмотрим в этой главе будут иметь один и тот же тип:

a ->m b

Смотрите вместо произвольного типа b функция возвращает m b. Единственное, что будет меняться от

раздела к разделу это тип m. Добавив этот тип к результату, мы сузили область значений функции. Простым

примером таких функций могут быть функции, которые возвращают списки:

a ->[b]

Если раньше наши функции могли возвращать произвольное значение b, то теперь мы знаем, что все

результирующие значения таких функций будут списками.

При этом для каждого такого m мы попытаемся построить свой замкнутый мир специальных функций a

->m b. Он будет жить внутри вселенной всех произвольных функций типа a ->b. В этом нам поможет

специальный класс типов, который называется категорией Клейсли (эта конструкция носит имя математика

Хенрика Клейсли).

class Kleislim where

idK

::a ->m a

( *>) ::(a ->m b) ->(b ->m c) ->(a ->m c)

Этот класс является классом Categoryв мире наших специальных функций. Если мы сотрём все буквы m,

то мы получим обычные типы для тождества и композиции. В этом мире должны выполняться те же правила:

f

*>idK

==f

idK *>f

==f

f *>(g *>h) ==(f *>g) *>h

Взаимодействие с внешним миром

С помощью класса Kleisliмы можем составлять из одних специальных функций другие. Но как мы

сможем комбинировать специальные функции с обычными?

Поскольку слева у нашей специальной функции обычный общий тип, то с этой стороны мы можем вос-

пользоваться обычной функцией композиции >>. Но как быть при композиции справа? Нам нужна функция

типа:

(a ->m b) ->(b ->c) ->(a ->m c)

Оказывается мы можем составить её из методов класса Kleisli. Мы назовём эту функцию композиции

( +>).

( +>) :: Kleislim =>(a ->m b) ->(b ->c) ->(a ->m c)

f +>g =f *>(g >>idK)

С помощью метода idK мы можем погрузить в мир специальных функций любую обычную функцию.

Композиция функций | 87

Три композиции

У нас появилось много композиций целых три:

аргументы

|

результат

обычная

>>

обычная

==

обычная

специальная

+>

обычная

==

специальная

специальная

*>

специальная

==

специальная

При этом важно понимать, что по смыслу это три одинаковые функции. Они обозначают операцию по-