Анонiм (Гор Грит) - Спящий бог 018

Есть две математики. Первая связана с миром физических объектов — арифметика. Тут в роли доказательства выступает опыт. Одно яблоко + одно яблоко = два яблока. Но арифметика не может дать ответа, сколько будет одно яблоко + один ветер или одна коза. Опыт говорит, что будет одно яблоко и один ветер (и коза тоже отдельно будет).

Чтобы счет не зависел от реальных объектов, его нужно отделить от физического мира. Так возникает математика, ни к чему не привязанная дисциплина, оперирующая с абстракциями, с тем, чего не существует — с цифрами. И вот здесь, в отрыве от опыта, уже нужно доказать, что 1+1=2. Именно эту задачу ставил Гильберт, а Рассел с Уайтхедом ее решали. Они искали, как «и так понятно, что 1+1=2» строго доказать.

И все бы хорошо, но пришла на математиков беда, откуда не ждали. В 1931 году 25-летний математик Гёдель публикует две теоремы, доказывающие, что невозможно создать аксиоматическую систему, из которой нельзя вывести противоречивые утверждения.

Этот юноша посещал лекции Гильберта, где тот рассказывал о перспективах, какие откроются человечеству, если удастся обосновать арифметику, потом математику, и от нее перекинуть систему на все человеческие знания. Гёдель показал, что это невозможно.

Теорема о неполноте строго доказывает, что всякая достаточно полная система по своей природе противоречива, то есть содержит в себе утверждения, где одно белое, другое черное. Но при этом оба утверждения равно убедительно доказываются или ни одно не опровергается. Если же система не содержит в себе противоречий, она неполная.

Чтобы увидеть истину доказательства теоремы Гёделя, нужно знать математику. Я не математик, и потому мне проще понять суть теоремы не через алгебраические символы, а через «я лгу», которую Гёдель перевел в язык формул.

Невозможно сказать, правду говорит человек или лжет, когда заявляет: «Я лгу». Если правду говорит, что лжет, значит, лжет, т.е. неправду. Противоречие — правда получается неправдой. Если же он лжет, значит, говорит правду, и правда в этом случае снова ложь. Так что же он говорит фразой «Я лгу», правду или ложь? Ответить на вопрос невозможно.

В сети много интеллектуальной эквилибристики на эту тему, преподносимой как ее решение. Но в реальности это от непонимания сути предмета, как и с апориями Зенона, про которые говорят, что их еще на первом курсе математического факультета изучают.

Когда я слышу эти утверждения, мне вспоминается, как Эйнштейн оказался в одной компании, где зашел разговор, кто, чем занимается. Он ответил, что занимается физикой. Одна девушка крайне удивилась такому ответу и сказала, что еще в школе покончила с этим предметом. Так же многие покончили с парадоксами еще на первом курсе.

Увы, люди в своей сути водомерки, склонные не погружаться в суть, а запоминать то, что заявлено истиной, и скользить по этим истинам. Раньше они на первом курсе изучали, что Земля центр Вселенной. Потом про теплород с флогистоном. Сегодня изучают, что мир материален. И всякий раз им все понятно, и они удивляются, как можно не понимать.

Как тут снова не вспомнить Эйнштейна, который на вопрос, как ему в голову пришли такие парадоксальные идеи про время и пространство, он ответил: «Нормальный взрослый человек вообще не задумывается над проблемой пространства и времени. По его мнению, он уже думал об этой проблеме в детстве. Я же развивался интеллектуально так медленно, что пространство и время занимали мои мысли, когда я уже стал взрослым».

Язык, которым мы пользуемся, достаточно полная система. Его можно перевести в символы математики и написать программу, которая будет подчеркивать несоответствия или ошибки. И, как всякая полная система, язык противоречив. Он позволяет составить неограниченное количество противоречивых высказываний — парадоксов.

Например, упомянутый ранее парадокс Рассела про брадобрея. Или парадокс про желания: если я попрошу вас не выполнять мои желания, вы не сможете это сделать, потому что, не выполняя, вы выполняете. Я же просил не выполнять, и вы не выполняете, таким образом, снова выполняя мою просьбу. Если же выполняете, снова не выполняете мое желание (я же просил не выполнять). Что бы вы ни делали, попадаете в противоречие.

Человек никогда не сможет написать свою полную биографию. Чтобы она была полной, он должен описать себя, пишущего биографию. Это влечет за собой необходимость описать себя, пишущего о пишущем свою биографию. И так бесконечно.