Петър Копанов: Математиката през 20 век

Задачата за разрешимост на диофантово уравнение). Следват проблеми от алгебрата (11. Квадратични форми с произволни алгебрични числови коефициенти, 12. Обобщаване теоремата на Кронекер за абелеви полета над произволна алгебрична област на рационалност, 13. Невъзможност за решаване на произволно уравнение от седма степен с помощта на функции само на два аргумента, 14. Доказателство крайността на зададена пълна система от функции), алгебричната геометрия (15. Строга обосновка на изчислителната геометрия на Шуберт, 16. Топология на алгебричните криви и повърхнини, 17. Представяне на определени форми като суми от квадрати) и геометрията (18. Построяване на пространство от конгруентни многостени). Сисъкът завършва с проблеми от анализа (19. Явяват ли се решенията на регулярна вариационна задача необходимо аналитични?, 20. Обща задача за граничните условия, 21. Доказателство за съществуването на линейни диференциални уравнения със зададена група на монодромия, 22. Униформизация на аналитични зависимости с помощта на автоморфни функции, 23. Развитие на методите на вариационното смятане). Особено е мястото на шестия проблем (6. Математическа формулировка на аксиомите на физиката). Горното изброяване е далеч от математическата строгост и има за цел само да покаже изключително широкия обхват на проблемите, а не да ги формулира строго.

Хилбертовите проблеми са изключително разнородни по своя характер. Някои са съвсем конкретни въпроси, изискващи еднозначен отговор „да“ или „не“. Такива са 3 и 7 проблем. В други случаи задачата е по-неопределена, например в 12 проблем. 23 проблем по същество е проблем за по-нататъшното развитие на вариационното смятане.

Каква е равносметката днес? Някои от проблемите са били решени сравнително бързо. Например проблем 3 е решен от Макс Ден в 1902 година. Други са далеч от завършване. Например проблем 6. Самият Хилберт по друг повод е казал, че „физиката е прекалено трудна за физиците“. Колмогоров аксиоматизира теорията на вероятностите, Джон фон Нойман и други успяват да формализират квантовата механика, но като цяло проблемът е открит, особено в областта на елементарните частици и квантовата теория на полето. Най-изненадващи за самия Хилберт са отрицателните решения на първия и втория проблем през трийсетте години от Курт Гьодел. През 1931 година Гьодел доказва две теореми за непълнота. Първата теорема за непълнота твърди, че ако една формална система на аритметиката е непротиворечива, то в нея се съдържа формално неразрешимо твърдение (с други думи съществува формула А такава, че нито А, нито нейното отрицание, са теореми в системата). Втората теорема за непълнота твърди, че в качеството на А може да се вземе формула, която по естествен начин изразява непротиворечивостта на аритметиката. Тези две теореми са изключително важни. Те показват принципната неосъществимост на Хилбертовата програма за пълна формализация на математиката и обосноваването на получената формална система чрез доказване на нейната непротиворечивост с финитни методи. Малко преди пенсионирането си през 1930 година Хилберт произнася реч в Кьонигсберг пред Дружеството на немските учени и лекари, в която заявява: „Ние трябва да знаем. Ние ще знаем“. Тези думи са изсечени на гроба му в Гьотинген. Гьодел обаче всъщност показва, че не можем винаги да знаем. Някои от проблемите са решени по-бързо, отколкото Хилберт е очаквал — например проблем 7 е решен от Александър Гелфонт през 1934 година. В пълна противоположност проблем 18 не бе решен допреди 8 години. Този проблем, известен още като пакетиране на сфери, всъщност датира още от времето на Йохан Кеплер.

Каква е равносметката? Като цяло програмата на Хилберт от 23 проблема е успешно решена (някои от тях — в отрицателен смисъл). Крайният резултат е, че днес много по-ясно и дълбоко осъзнаваме възможностите и ограниченията на науката математика. Разбира се, тази програма съвсем не изчерпва сериозните постижения на чистата математика през ХХ век. Достатъчно е да споменем създаването на нестандартния анализ през 60-те години от Ейбръхам Робинсън, с който отново се въвеждат (вече съвсем строго!) безкрайно малките и безкрайно големите числа, „тормозили“ цели поколения математици след въвеждането им от Нютон и Лайбниц и „успешно изхвърлени“ от Коши и Вайерщрас през XIX век. Всъщност според скромното мнение на автора на настоящите редове само това постижение е достатъчно, за да оправдае усилията на хората, работещи в областта на теоретичната математика през настоящото столетие. А този резултат съвсем не е изолиран.

Читать дальше