Коллектив авторов - Опыт конкуренции в России - причины успехов и неудач

(6.1)

где N – число особей; t – время;

r – естественный темп размножения.

С учетом ограниченности ресурсов и возникающей вследствие этого внутривидовой конкуренции экспоненциальное уравнение (6.1) заменяется логистической кривой (6.2)

(6.2)

где К – предельное число особей, существование которых возможно при данных объемах ресурсов.

Легко видеть, что, пока N << К, дробь в правой стороне формулы (6.2) близка к единице, т. е. при малом (относительно объема ресурсов) числе особей данная формула вырождается в формулу (6.1). Соответственно, развитие популяции, как и в первом случае, идет по экспоненте. Однако при приближении реального числа особей N к предельно возможному числу К дробь стремится к нулю, т. е. рост прекращается. Экспонента выходит на плато, собственно, и превращаясь в логистическую кривую.

Эти простейшие построения в дальнейшем были обобщены с учетом существования межвидовой конкуренции, что было проделано в знаменитой модели Лотки-Вольтерры (Lotka, 1925; Volterra, 1926). Для случая конкуренции двух видов она складывается из двух уравнений

(6.3)

и

(6.4)

Индексы при переменных отражают их принадлежность к первому или второму виду, а коэффициенты а 12и а 21называются коэффициентами конкуренции и отражают в первом случае силу конкурентного давления каждой особи второго вида на первый, а во втором случае, наоборот, особи первого вида на второй.

Рост популяции каждого из видов в модели Лотки-Вольтерры замедляется по мере нарастания численности как исследуемого, так и конкурирующего с ним видов (нехватку травы может вызвать нетолько размножение самих кроликов, но и увеличение численности коз). Поскольку, однако, коэффициенты a 12и a 21могут различаться, то при разных комбинациях их величин конкуренция приводит к качественно разным результатам: вытеснению первого вида вторым, второго вида первым или к различным режимам их сосуществования. Собственно, возможность количественно оценивать условия реализации принципиальных исходов конкурентной борьбы и обеспечила огромный авторитет модели Лотки-Вольтерры в науке.

Представляется, что модель Лотки-Вольтерры естественным образом подходит для моделирования развития «быстрых» фирм, поскольку (6.1) исходно приспособлена для описания экспоненциального роста, (6.2) объясняет процесс его затухания, (6.3) и (6.4) имеют простой механизм учета влияния других претендентов на ресурсы. Вместе с тем необходима содержательная интерпретация данной модели применительно к экономике, а также ее серьезная модификация с целью учета тех реалий, которые в биологии не встречаются.

Прежде всего, представляется, что в качестве ресурсов в микроэкономической версии модели должен фигурировать спрос. Не отрицая значимости материальных ресурсов, следует помнить, что рыночная экономика относится к типу спросоограниченных экономических систем. Само устройство рынка таково, что, имея деньги, в обычном случае (исключения, разумеется, есть) можно приобрести любые материальные ресурсы. Источником же денежных средств для компаний является спрос на их продукцию.

Далее, модель корректно применить к отдельной фирме, а не ко всей «популяции» фирм отрасли. Это в биологии один кролик не может так разрастись по размерам, что индивидуальное поедание им травы постепенно станет сопоставимым с общим объемом данного ресурса. Фирма же в состоянии собственным производством покрыть заметную часть спроса или даже весь совокупный спрос.

Таким образом, N разумно интерпретировать как объем реализации отдельной фирмы. Соответственно, параметр К в этом случае понимается как размер спроса на ее продукцию. Замедление роста «быстрой» фирмы (сход с экспоненты) в этом случае вполне непринужденно объясняется тем, что ее объем производства наткнулся на границы спроса.

Очень важно и содержательное истолкование параметра г, определяющего скорость роста фирмы, крутизну ее экспоненты. Обратим внимание на то, что он не зависит от размеров спроса. Даже если спрос многократно превышает объем предложения, фирма не может расти сколь угодно быстро. Неизбежно возникнут трудности со вводом в строй производственных мощностей, подбором кадров и т. п. Представляется, что в экономике г отражает предельно возможный темп расширения производственного потенциала фирмы.