Kit Yates - Los números de la vida

En lugar de limitarme a señalar aquellos lugares en los que las matemáticas podrían hacer acto de presencia, a lo largo de estas páginas te proporcionaré un conjunto de sencillas reglas y herramientas matemáticas que pueden servirte de ayuda en los diversos aspectos de tu vida cotidiana, desde obtener el mejor asiento en el tren hasta mantener la calma cuando el médico te informa de un resultado inesperado en una prueba. Sugeriré formas sencillas de evitar cometer errores numéricos, y nos ensuciaremos las manos de tinta de periódico desentrañando las cifras que se ocultan detrás de los titulares. También conoceremos de cerca las matemáticas que subyacen a la genética del consumidor, y observaremos las matemáticas en acción perfilando los pasos que podemos dar para ayudar a detener la propagación de una enfermedad mortal.

Como con un poco de suerte ya habrás deducido, este no es un libro de matemáticas. Tampoco es un libro para matemáticos. En estas páginas no encontrarás ni una sola ecuación. El objetivo del libro no es hacerte recordar las lecciones de matemáticas de la escuela que quizá ya hace años que olvidaste; al contrario: si alguna vez alguien te ha marginado y te ha hecho creer que no puedes participar del mundo matemático o que las matemáticas no son lo tuyo, considera este libro como una emancipación.

Creo sinceramente que las matemáticas son para todo el mundo, y que todos podemos apreciar las hermosas fórmulas que subyacen en el corazón de los complejos fenómenos que experimentamos a diario. Como veremos en los próximos capítulos, son matemáticas las falsas alarmas que suenan en nuestra mente y la falsa confianza que nos ayuda a dormir por las noches; las historias que nos invaden en las redes sociales y los memes que se difunden a través de ellas. Son matemáticas los resquicios legales y el remedio para subsanarlos; la tecnología que salva vidas y los errores que las ponen en riesgo; el brote de una enfermedad mortal y las estrategias para controlarla. Representan nuestra mejor esperanza de responder a las cuestiones fundamentales sobre los enigmas del cosmos y los misterios de nuestra propia especie. Nos llevan por los innumerables caminos de nuestras vidas, y nos acechan, justo detrás del velo, para observarnos mientras exhalamos nuestro último aliento.

EL FORMIDABLE PODER Y LOS LÍMITES ALECCIONADORES

DEL COMPORTAMIENTO EXPONENCIAL

Darren Caddick es profesor de autoescuela en Caldicot, un pueblecito de Gales del Sur. En 2009 se le acercó un amigo con una lucrativa oferta. Si invertía 3000 libras en un grupo de inversión local y conseguía que otras dos personas que hicieran lo mismo, obtendría una ganancia de 23000 libras en solo un par de semanas. Al principio, Caddick pensó que era demasiado bueno para ser verdad y resistió la tentación. Pero sus amigos le convencieron de que «nadie saldría perdiendo, porque el plan seguiría y seguiría y seguiría» de manera indefinida, de modo que decidió probar suerte. Lo perdió todo, y diez años después todavía está pagando las consecuencias.

Sin darse cuenta, Caddick se había metido en la base de un esquema piramidal que resultó que no pudo «seguir» indefinidamente. Iniciado en 2008, el esquema —que respondía al nombre de Give and Take («toma y daca»)— se quedó sin nuevos inversores y se desmoronó en menos de un año, pero no sin antes absorber 21 millones de libras de más de 10 000 inversores en todo el Reino Unido, el 90 % de los cuales perdieron su participación inicial de 3000 libras. Los esquemas de inversión que dependen de que sus inversores capten a muchos otros para obtener sus dividendos están condenados al fracaso. El número de nuevos inversores necesarios en cada nivel aumenta en proporción al número de personas ya incorporadas al esquema. En un esquema piramidal de este tipo, tras solo quince rondas de captación de nuevos inversores habría más de 10 000 personas. Aunque esta parece una cifra importante, en el caso de Give and Take se alcanzó con bastante facilidad. Sin embargo, tras otras quince rondas de captación se habría requerido la inversión de uno de cada siete habitantes del planeta para mantener el esquema en marcha. Este vertiginoso tipo de crecimiento, que aquí condujo a una inevitable falta de nuevos inversores y el consecuente desmoronamiento del esquema, se conoce como crecimiento exponencial.

Se dice que algo crece exponencialmente cuando aumenta en proporción a su tamaño actual. Imagina que, cuando abres la botella de leche por la mañana, una sola célula de la bacteria Streptococcus faecalis se cuela en su interior antes de que vuelvas a cerrar el tapón. Strep f . (como se la denomina de forma abreviada) es una de las bacterias que hacen que la leche se agrie y cuaje; pero una célula no parece gran cosa, ¿verdad? 1Quizá resulta un poco más preocupante descubrir que, una vez en la leche, una célula de Strep f . puede dividirse y producir dos células hijas cada hora. 2En cada generación, el número de células aumenta en proporción al número actual de estas, de modo que su número crece exponencialmente.

La curva que describe cómo aumenta una cantidad que crece exponencialmente tiene una forma que recuerda a una de las típicas rampas que utilizan los aficionados a hacer piruetas con patines, monopatines o bicicletas BMX. Inicialmente, la pendiente de la rampa es muy suave: la curva es extremadamente poco pronunciada, y solo va ganando altura de una forma muy gradual (como puedes ver en la primera curva de la Figura 2). Al cabo de dos horas hay cuatro células de Strep f . en la leche, y al cabo de cuatro todavía hay solo 16, lo que no parece que represente un gran problema. Sin embargo, al igual que ocurre con la mencionada rampa, luego la altura y la inclinación de la curva exponencial aumentan con rapidez. Al principio, las cantidades que crecen exponencialmente pueden dar la impresión de que aumentan poco a poco, pero de repente despegan de una forma que parece tan abrupta como inesperada. Si te olvidas de la leche durante cuarenta y ocho horas, y el crecimiento exponencial de las células de Strep f . se mantiene, la próxima vez que vuelvas a verterla en tus cereales podría haber casi 1000 billones de células en la botella; suficientes para hacer que se te cuaje la sangre, y no digamos ya la leche. En este punto, las células superarían en número al total de habitantes de nuestro planeta en una proporción de 40 000 a uno. A veces se alude a las curvas exponenciales como «curva en forma de J», ya que su forma se asemeja mucho a la curva pronunciada característica de dicha letra. Obviamente, a medida que las bacterias consumen los nutrientes de la leche y cambian su pH las condiciones de crecimiento se van deteriorando, de manera que el incremento exponencial solo se mantiene durante un período de tiempo relativamente breve. De hecho, en casi todos los escenarios del mundo real el crecimiento exponencial a largo plazo resulta insostenible, y en muchos casos patológico, dado que el sujeto en crecimiento consume recursos de manera inviable. Así, por ejemplo, el crecimiento exponencial sostenido de las células del cuerpo es un rasgo distintivo del cáncer.

Figura 2. Curvas «en forma de J» de crecimiento exponencial (izquierda) y decaimiento exponencial (derecha).

Otro ejemplo de curva exponencial es un tobogán acuático de caída libre, llamado así porque inicialmente el tobogán es tan empinado que el usuario experimenta la sensación de estar en caída libre. Pero en este caso, al proseguir nuestro avance por el tobogán, nos deslizamos por una curva de decaimiento exponencial, en lugar de una curva de crecimiento (puedes ver un ejemplo en la segunda imagen de la Figura 2). Se produce decaimiento exponencial cuando una cantidad disminuye en proporción a su tamaño actual. Imagina que abres una enorme bolsa de M&M’s, los viertes sobre la mesa y empiezas a comer todos los que han caído con el lado que lleva la letra M hacia arriba. Guarda el resto de la bolsa para mañana. Al día siguiente, agita la bolsa y vierte nuevamente los M&M’s; de nuevo, cómete los que tienen la letra M a la vista y guarda el resto en la bolsa. Cada vez que viertas los caramelos de la bolsa te comerás aproximadamente la mitad de los que quedan, independientemente de la cantidad con la que empezaste en un primer momento. El número de caramelos disminuye en proporción a los que quedan en la bolsa, lo que se traduce en una disminución exponencial de la cantidad de caramelos. De manera similar, el tobogán acuático exponencial empieza siendo vertical en la parte de arriba, de manera que la altura a la que está el usuario disminuye muy deprisa, al igual que, cuando tenemos un gran número de caramelos, la cantidad que nos comemos también es grande. Pero la curva se va haciendo más gradual y cada vez menos empinada hasta que llega a ser casi horizontal al final del tobogán; del mismo modo, cuantos menos caramelos dejemos, menos podremos comer al día siguiente. Aunque el hecho de que un caramelo individual aterrice en la mesa con la M hacia arriba o hacia abajo es aleatorio e imprevisible, la curva predecible del decaimiento exponencial, en forma de tobogán acuático, es el resultado del número de caramelos que vamos dejando a lo largo del tiempo.