Hebert Vázquez - Fundamentos teóricos de la música atonal

La notación numérica de alturas e intervalos en el espacio-a, expuesta en los puntos 1.2 a 1.5, es la que se emplea cotidianamente en la teoría anglosajona de la música atonal, por lo que se ha considerado imprescindible ponerla al alcance del lector. Esta notación, sin embargo, presenta algunos inconvenientes.. 6

En lo que se refiere a las alturas, la notación funciona muy bien dentro del índice acústico 5, esto es, de las alturas 0 a 11, debido a que éstas tienen la misma representación numérica que las 12 clases de alturas del espacio-c.a., sin las letras A y B, por supuesto. Sin embargo, a medida que las alturas se alejan, ascendente o descendentemente, de esta octava central, su ubicación se va volviendo confusa y difícil de representar mentalmente, sin la ayuda del pentagrama. Por ejemplo, si pensamos por un momento en las alturas 33, 41, -19 o -21, por nombrar sólo algunas al azar, resulta evidente que las dos primeras son frecuencias altas y las dos últimas frecuencias bajas. No obstante, ubicarlas con precisión como La índice 7, Fa índice 8, Fa y Mi índice 3, respectivamente, no se da inmediatamente como una consecuencia natural de la notación, sino que requiere de un esfuerzo mental adicional.

Algo parecido sucede con la notación numérica de los intervalos. En este caso, se privilegia a los intervalos simples, que resultan fáciles de manejar, sobre los compuestos. Los números +19, +30 y |21|, por ejemplo, indican que se trata de intervalos amplios, pero difícilmente evidencian su cualidad sonora, en caso de no contarse con el apoyo de la notación musical.

En los siguientes puntos del capítulo, se expondrá una nueva notación numérica para los intervalos y alturas, la cual será la empleada en el resto del libro. Esto se hace con la esperanza de que su manejo, al que consideramos más sencillo y más cercano a la intuición musical del lector que el de la notación anglosajona convencional, justifique el riesgo que se asume al alejarse de ésta, dado que su uso es generalizado.

La nueva notación no modifica las caracterísiticas del espacio-a: se sigue tratando de un espacio lineal de 12 alturas por octava, ubicadas a distancia de semitono con respecto al sonido inmediato inferior y superior. Los axiomas de equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava siguen vigentes.

Empecemos por notar que una clase de altura â puede ser expresada como:

â = { x | x = 12 q + a }, con a, q ∈ Z, donde Z es el conjunto de los enteros, y 0 ≤ a ≤ 11.

Otra clase de altura sería:

ĉ = { y | y = 12 p + c }, donde c , p ∈ Z, 0 ≤ c ≤ 11.

Esto nos permite convertir cualquier altura a una clase de altura. Tomemos, por ejemplo, las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 que, expresadas como c.a., nos dan: 0 = 12(0) + 0 ∈ 0^; 20 = 12(1) + 8 ∈ 8^ ; -22 = 12(-2) + 2 ∈ ^2; 35 =

12(2) + B ∈ B^ ; -6 = 12(-1) + 6 ∈ ^6. Estos resultados se muestran en el

ejemplo 15.

CONVERSIÓN DE ALTURAS A CLASES DE ALTURAS

Volviendo a nuestras dos c.a., â = { x | x = 12 q + a } y ĉ = { y | y = 12 p + c }, definidas un poco más arriba, se propone ahora escribir una altura x ∈ â , como x ≡ â d, donde d = q + 5. Análogamente denotaremos una altura y ∈ ĉ , como y ≡ c e, donde nuevamente e = p + 5. La altura â d nos indica que se trata de la c.a. â en el índice acústico d . 7

Al “traducir” las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 del ejemplo 15 a la nueva notación, obtenemos: 0 = 12(0) + 0 ≡ 0(0+5) = 05; 20 = 12(1) + 8 ≡ 8(1+5) = 86; -22 = 12(-2) + 2 ≡ 2(-2+5) = 23; 35 = 12(2) + B ≡ B(2+5) = B7; -6 = 12(-1) + 6 ≡ 6(-1+5) = 64.

ALTURAS DEL EJEMPLO 15 EXPRESADAS POR MEDIO DE DOS NOTACIONES

A diferencia de lo que sucede con la notación convencional, la nueva notación es fácilmente descifrable en cualquier registro. Esto se debe, por un lado, a que toda altura ad, al ser transferida de octava, mantiene invariante el valor de a . Por otro lado, el valor de d en ad resultará evidente para el músico con formación académica, acostumbrado al manejo de los índices acústicos.

El ejemplo 17 ilustra la equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava, propias del espacio-a, expresadas por medio de notación musical y de la nueva notación numérica de la altura.

DOS PROPIEDADES DEL ESPACIO-A, EXPRESADAS MEDIANTE LA NUEVA NOTACIÓN DE LA ALTURA

a)Equivalencia enarmónica

b)No equivalencia de octava

El intervalo ordenado simplificado en el espacio-a, al que podemos abreviar como “i.s.”, se indica por medio de un entero que representa un intervalo simple (menor a la octava), cuyo valor numérico se encuentra definido, por lo tanto, para 0, 1, 2, ..., 11 (con el objeto de mantener homogénea la notación, continuaremos escribiendo 10 como A y 11 como B). A éste entero se le agrega un subíndice que precisa el número de octavas a través de las cuales se extiende el intervalo.

Pero antes de abordar el intervalo ordenado simplificado será necesario definir la función “signo” (sgn).

Sea Z el conjunto de los números enteros y x cualquier entero ( x ∈ Z).

La función sgn mapea a todo Z en {-1, 0, 1}, lo que denotamos como:

sgn: Z→ { -1,0,1 }

Así , por ejemplo, tenemos que sgn (-8) = -1, sgn (0) = 0 y sgn (4) = +1.

Ahora es posible definir el intervalo ordenado simplificado en función de los cuatro casos que se muestran a continuación.

Caso 1 . Sea la secuencia ordenada de alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

Caso 2 . La misma secuencia de alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

Caso 3 . La misma secuencia de alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

Caso 4. La misma secuencia de alturas. Sean a < b c > d (caso mixto).

En resumen, los resultados son:

α ) Para los dos casos mixtos: i.s.< a c, b d> = S(-| b - a |) |d - c|8

β ) Para los dos casos mixtos: i.s.< a c, b d> = S(-| b - a |) mód.12|d - c| - 1 donde S = sgn( d - c )