Paula Andrea González Parra - Modelos discretos en epidemiología

González Parra, Paula Andrea

Modelos discretos en epidemiología, Influenza AH1N1 y COVID-19 pandemias del Siglo XXI / Paula Andrea González Parra, Carlos Castillo-Chávez.-- Primera edición.-- Cali: Programa Editorial Universidad Autónoma de Occidente, 2021. 70 páginas, ilustraciones.

Contiene referencias bibliográficas.

Epub: 978-958-619-094-7

PDF: 978-958-619-095-4

1. Epidemiología - Modelos matemáticos. 2. COVID-19 (Enfermedad) – Modelos matemáticos. 3.Influenza H1N1. I. Castillo-Chávez, Carlos. II. Universidad Autónoma de Occidente.

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Modelos discretos en epidemiología. Influenza AH1N1 y COVID-19 pandemias del siglo XXI

© Universidad Autónoma de Occidente

© Carlos Castillo Chávez

Paula Andrea González Parra

ISBN PDF: 978-958-619-095-4

ISBN Epub: 978-958-619-094-7

Primera Edición, 2021

© Universidad Autónoma de Occidente

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Jefe Programa Editorial

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jjserrano@uao.edu.co

Coordinación editorial

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Diseño epub:

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Índice general

Introducción

1Modelo SIR

1.1Presentación del modelo discreto SIR

1.2Número Reproductivo Básico R 0

1.3Resultados numéricos

2Control óptimo en epidemiología

2.1Principio del Máximo de Pontryagin

2.2Método de Puntos Interiores

3Control óptimo aplicado a un modelo de influenza

3.1Formulación del problema de control óptimo

3.2Solución aplicando el algoritmo de Avance-Retroceso

3.3Solución aplicando el Método de Puntos Interiores

3.4Resultados Numéricos

3.4.1Comparación entre los dos métodos

3.4.2Efectos de las estrategias implementadas

4Cuando los recursos son limitados

4.1Formulación del problema

4.2Resultados numéricos

5Cuando algunos grupos son más vulnerables

5.1Modelo con estructura de grupos

5.2Población divivida en dos grupos

5.3Población dividida en tres grupos

6Modelo de propagación del COVID-19

6.1Presentación del modelo

6.2Número Reproductivo Básico

6.3Distanciamiento social

6.4Resultados numéricos

Conclusiones

Bibliografía

Introducción

Con la aparición del COVID-19, ha crecido en la población general el interés en los modelos matemáticos de las enfermedades infecciosas. Es común escuchar sobre el número reproductivo básico R 0, el pico de la epidemia, las políticas de mitigación de la enfermedad, entre otras. Una de las contribuciones más importantes en epidemiología matemática es el modelo compartamental propuesto por Kermack y McKendrick formulado en 1927 [1, 2, 3, 4]. El modelo propuesto es un modelo continuo basado en el flujo de individuos entre diferentes clases, las cuales están relacionadas con el estatus del individuo frente a la enfermedad, es decir, si es por ejemplo, suscetible, infeccioso, asintomático, recuperado, entre otros.

El propósito de este libro es presentar modelos de tipo discreto. En los últimos años se ha incrementado el interés en este tipo de modelos [1, 5, 6, 7, 8], puesto que en ellos los resultados obtenidos son más fáciles de comparar con los datos reales ya que los datos también son obtenidos en intervalos de tiempo discretos (días, semanas, meses, etc). Adicionalmente, desde el punto de vista computacional, los modelos continuos deben ser discretizados para poder realizar simulaciones, mientras que estos modelos ya son formulados de manera discreta, lo cual se convierte en otra ventaja.

Presentamos algunas ideas generales sobre modelación y control óptimo, en los Capítulos 1y 2. En los últimos capítulos nos concentramos en las pandemias que han afectado al mundo en los últimos años; la influenza AH1N1, que estuvo presente en el año 2009 y el COVID-19 que apareció a finales del año 2019 y se ha propagado a lo largo del mundo en el año 2020.

En cuánto a la influenza AH1N1, se notificaron al Sistema Nacional de Vigilancia en Salud Pública (Sivigila) en Colombia, un total de 163 628 casos desde el inicio de la pandemia en el 2009, en la semana 14, hasta la semana 35 del mismo año. El primer caso en Colombia se registró el 3 de mayo de 2009, convirtiendo a Colombia en el primer pais con casos confirmados en suramerica. [9]. El virus que circuló en ese momento afectó principalmente a los jóvenes, se asume que las personas mayores de 65 años tenían cierta inmunidad debido a una exposición previa a cierto tipo de virus AH1N1. A nivel mundial se estimó que el 80 % de las muertes relacionadas con este virus se presentaron en personas menores de 65 años, lo cual difiere de una epidemia típica de influenza estacional en la cual la población más afectada son los mayores de 65 años (70 a 90 % de las muertes) [10].

El COVID-19, es un nuevo virus que fue reportado por primera vez en la provincia de Wuhan, China [11, 12]. Este virus se propagó rápidamente a otras regiones del mundo; en marzo del 2020, 213 regiones al rededor del mundo estaban afectadas y más de 5 millones de casos habían sido confirmados. El 11 de marzo, la Organización Mundial de la Salud confirmó que se trataba de una pandemia [13]. El primer caso en Colombia se reportó la primera semana de marzo, al 30 de julio se tenían ya 276 050 casos confirmados y 9 454 fallecidos debido a la enfermedad [14].

En el Capítulo 1se presentan las ideas generales de un modelo discreto SIR, se calcula el número reproductivo básico, R 0 , el cual se define como el número de casos secundarios que un único individuo infectado puede producir en una población de individuos susceptibles y algunas simulaciones considerando diferentes valores de R 0 . Todos los resultados numéricos presentados en el libro son resultados de simulaciones realizadas con el programa Matlab.

En el Capítulo 2se formula un modelo de control en epidemiología y se presentan dos maneras de resolverlo: La versión discreta del Principio del Máximo de Pontryagin [15, 16, 17] y el método de Puntos Interiores [18]. Este último permite la incorporación de restricciones de manera más natural en el problema.

En el Capítulo 3se formula un problema de control óptimo para un modelo de influenza en el que se consideran el distanciamiento social y el tratamiento antiviral como políticas de control. Se estudian diferentes escenarios, proponiendo diferentes estrategias que consideran la aplicación de los controles de manera individual o colectiva para diferentes valores de R 0. El problema se resuelve aplicando los dos métodos mencionados y se hace una comparación entre ellos. En estas simulaciones, se hace referencia a un escenario ideal en el que los recursos son ilimitados. En el Capítulo 4se plantea un escenario más realista en el que los recursos son limitados; es decir, se considera que se tiene un número de dosis de tratamiento disponible. El problema se resuelve formulando una restricción isoperimétrica, la cual se puede introducir de manera más natural aplicando el método de Puntos Interiores.